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Différentiant et effaçant ce qui se détruit, on aura, à cause de

$d\mathrm {Z} =ndx+\mathrm {N} dy+\nu dz+pd^{2}x+\mathrm {P} d^{2}y+\ldots ,$

$\left(n-dp+d^{2}q+\ldots \right)dx+\left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} +\ldots \right)dy$

$+\left(\nu -d\varpi +d^{2}\chi +\ldots \right)dz=0,$

équation qui est d’elle-même identique, et qui montre par conséquent que les équations trouvées à la fin de l’Article I sont telles, que, si on en prend deux à volonté, la troisième s’ensuit toujours nécessairement.

IX.

Problème II. — Rendre la formule $\int \mathrm {Z}$ un maximum ou un minimum, en supposant que $\mathrm {Z}$ est une fonction quelconque algébrique composée, des changeantes $x,y,z$ avec leurs différences $dx,dy,dz,d^{2}x,d^{2}y,\ldots ,$ et de la quantité $\Pi =\int \mathrm {Z} ',$ $\mathrm {Z} '$ étant une autre fonction algébrique quelconque des seules changeantes $x,y,z,\ldots$ et de leurs différences $dx,dy,dz,d^{2}x,$$d^{2}y,\ldots .$

Solution. — Soit, en différentiant par $\delta ,$

${\begin{aligned}\delta \mathrm {Z} =&\mathrm {L} \delta \Pi +n\delta x+p\delta dx+q\delta d^{2}x+\ldots +\mathrm {N} \delta y+\mathrm {P} \delta y+\mathrm {Q} \delta d^{2}y+\ldots \\&+\nu \delta z+\varpi \delta z+\chi \delta d^{2}z+\ldots \end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}\mathrm {Z} '=&n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots +\mathrm {N} '\delta y+\mathrm {P} '\delta dy+\mathrm {Q} '\delta d^{2}y+\ldots \\&+\nu '\delta z+\varpi '\delta dz+\chi '\delta d^{2}z+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura, par hypothèse,

$\delta \Pi =\delta \int \mathrm {Z} '=\int \delta \mathrm {Z} '=\int \left(n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots \right)\,;$

donc

${\begin{aligned}\delta \int \mathrm {Z} =\int \delta \mathrm {Z} =\int &\left(ndx+p\delta dx+q\delta d^{2}x+\ldots \right)\\&+\int \mathrm {L} \int (n'\delta x+p'\delta dx+q'\delta d^{2}x+\ldots ).\end{aligned}}$

La première partie se réduira, comme dans le Problème I, à

$\int \left(n-dp+d^{2}q-\ldots \right)\delta x+(p-dq+\ldots )\delta x+(q-\ldots )d\delta x+\ldots .$

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