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$\mathrm {M',M''} ,\ldots$ aux centres de leurs forces $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots$ $\mathrm {P'',Q'',R''} ,\ldots$ Soient, outre cela, $f$ la distance entre le corps $\mathrm {M}$ et le corps $\mathrm {M} ',$ et $\mathrm {F}$ la force avec laquelle chaque point de l’un attire chaque point de l’autre ; de même $f'$ la distance entre les corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ et $\mathrm {F} '$ leur force d’attraction, et ainsi de suite. Soient encore $g$ la distance entre le corps $\mathrm {M} '$ et le corps $\mathrm {M} '',$ et $\mathrm {G}$ leur attraction, et ainsi pour tous les autres corps ; on aura, par le principe général de la conservation des forces vives, l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {M} u^{2}&+\mathrm {M} 'u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\ldots =\mathrm {MU^{2}+M'U'^{2}+M''U''^{2}} +\ldots \\&-2\mathrm {M} \ \ \int \left(\mathrm {P} \ \ dp\ \ +\mathrm {Q} \ \ dq\ \ +\mathrm {R} \ \ dr\ \ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} '\ \int \left(\mathrm {P} '\,dp'\ +\mathrm {Q} 'dq'\ +\mathrm {R} '\,dr'\ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} ''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&-2\mathrm {MM'} \int \mathrm {F} df\\&-2\mathrm {MM''} \int \mathrm {F} 'df'-2\mathrm {M'M''} \int \mathrm {G} dg-\ldots .\end{aligned}}$

$\mathrm {U,U',U''} ,\ldots$ étant les vitesses primitives des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots .$

Or, soient supposés

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} \ =&\mathrm {fonct} .p\ ,&\mathrm {Q} \ =&\mathrm {fonct} .q\ ,&\mathrm {R} \ =&\mathrm {fonct} .r\ ,\ldots ,\\\mathrm {P} '=&\mathrm {fonct} .p',\qquad &\mathrm {Q} '=&\mathrm {fonct} .q',\qquad &\mathrm {R} '=&\mathrm {fonct} .r',\ldots ,\end{alignedat}}$

$\mathrm {F\,\ =fonct} .f,\ldots ,\qquad \mathrm {G=fonct} .g,\ldots ,$

on trouvera, par un calcul analogue à celui qu’on a fait dans le Problème I, l’équation différentielle

(U)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {M} u\delta &u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \\=&-\mathrm {M} \ \ \left(\mathrm {P} \ \ \delta p\ \ +\mathrm {Q} \ \ \delta q\ \ +\mathrm {R} \ \ \delta r\ \ +\ldots \right)\\&-\mathrm {M} '\ \left(\mathrm {P} '\delta p'\ +\mathrm {Q} '\,\delta q'\ +\mathrm {R} '\,\delta r'\ +\ldots \right)\\&-\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} ''\delta p''+\mathrm {Q} ''\delta q''+\mathrm {R} ''\delta r''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\ldots \\&-\mathrm {M'M''G} \delta g+\ldots .\end{aligned}}\right.$