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différences $\delta \Phi ,\delta \Phi ',\ldots ,\delta x,\delta x',\delta x'',\ldots ,$ quelle que soit l’action réciproque des corps les uns sur les autres ; il est de plus évident que toutes les différences $\delta p,\delta q,\delta f,\ldots ,$ qui entrent dans la valeur de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u',\ldots ,$ seront aussi indépendantes de la différence $\delta \varphi \,;$ d’où il suit que tous les termes de l’équation (F) qui se trouveront affectés de la différence $\delta \varphi$ après les substitutions de $\delta \varphi +\delta \Phi ,\ \delta \varphi +\delta \Phi ',\ldots ,$ à la place de $\delta \varphi ',\delta \varphi '',\ldots ,$ devront être égaux à zéro séparément du reste de l’équation ; on aura donc en général, après avoir effacé le $\delta \varphi ,$ l’équation

$\mathrm {M} d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}+\ldots =0,$

dont l’intégrale est

(G)

${\frac {\mathrm {M} ux^{2}d\varphi }{ds}}+{\frac {\mathrm {M} 'u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}+{\frac {\mathrm {M} ''u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}+\ldots =\mathrm {const} .,$

ou, en mettant $dt$ pour ${\frac {u}{ds}},{\frac {u'}{ds'}},{\frac {u''}{ds''}},\ldots$ et en nommant $\mathrm {H}$ la constante,

$\mathrm {M} x^{2}d\varphi +\mathrm {M} 'x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} dt,$

et intégrant de nouveau, il vient

$\mathrm {M} \int x^{2}d\varphi +\mathrm {M} '\int x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''\int x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} t,$

Il est visible que l’intégrale

$\int x^{2}d\varphi$

exprime l’aire que la projection du corps $\mathrm {M}$ décrit autour du centre des forces, et que les autres intégrales

$\int x'^{2}d\varphi ',\qquad \int x''^{2}d\varphi '',\ldots ,$

expriment de même les aires décrites par les projections des autres corps $\mathrm {M',M''} ,\ldots ,$ autour du même centre ; donc la somme de chacune de