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ayant fait ces substitutions dans les valeurs de $ds',ds'',$ on aura

${\begin{aligned}ds'\ =&{\sqrt {ds^{2}+2dxd(r\ \cos \varphi \ \ )+2dyd(r\ \sin \varphi \ \ )+r^{2}\ d\varphi ^{2}\,+dr^{2}\,+2dzd\mathrm {\mathrm {Z} } \ +d\mathrm {\mathrm {Z} } ^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {ds^{2}+2dxd\left(r'\cos \varphi '\right)+2dyd\left(r'\sin \varphi '\right)+r'^{2}d\varphi '^{2}+dr'^{2}+2dzd\mathrm {Z} '+d\mathrm {Z} '^{2}}}.\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on veut regarder l’orbite du corps $\mathrm {M}$ comme connue, on prendra les différences $\delta ds,\delta ds',\delta ds'',$ en supposant $dx,dy,dz$ constantes ; on aura

$\delta ds\ \ =0,$

$\delta ds'\ =-{\frac {1}{ds'}}\left[dx\delta d(r\cos \varphi )+dy\delta d(r\sin \varphi )+r^{2}d\varphi \delta \right.d\varphi +rd\varphi ^{2}\delta r$

$+\left.dr\delta dr+(dz+d\mathrm {Z} )\delta d\mathrm {Z} \right],$

$\delta ds''=-{\frac {1}{ds''}}\left[dx\delta d(r'\cos \varphi ')+dy\delta d(r'\sin \varphi ')+r'^{2}d\varphi '\delta \right.d\varphi '+r'd\varphi '^{2}\delta r'$

$+\left.dr'\delta dr'+(dz+d\mathrm {Z} ')\delta d\mathrm {Z} '\right].$

Avant que de faire ces substitutions dans l’équation (D) de l’Article VIII je remarque que les corps $\mathrm {M',M''}$ dont on cherche le mouvement étant entièrement libres par l’hypothèse du Problème, les différences de leurs coordonnées $\delta r,\delta \varphi ,\delta \mathrm {Z} ,\delta r',\delta \varphi ',\delta \mathrm {Z} '$ sont nécessairement indépendantes entre elles ; d’où il suit qu’on peut faire pour chacun de ces corps un calcul à part, en ne considérant à la fois que les variations des trois coordonnées $r,\varphi ,\mathrm {Z}$ ou $r',\varphi ',\mathrm {Z} '.$

Qu’on ne prenne d’abord que les trois premières $r,\varphi ,\mathrm {Z}$ pour variables, il est clair qu’on aura $\delta ds''=0\,;$ par conséquent l’équation mentionnée deviendra simplement

$\int \left[\mathrm {M} 'u'\delta ds'+\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt\right]=0.$

Pour appliquer cette équation au Problème présent, on commencera par substituer, à la place des $\delta ds',$ sa valeur trouvée ci-dessus, en y mettant, pour plus de simplicité, au lieu de ${\frac {u'}{ds}}$ son égale ${\frac {1}{dt}}\,;$ ensuite on intégrera par parties tous les termes qui renfermeront des différences affectées du double signe $\delta d,$ après avoir changé ce signe dans son équi-