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Or il est facile de trouver que

${\begin{aligned}f\ =&{\sqrt {\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} }}={\sqrt {r^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}},\\f'=&{\sqrt {\mathrm {X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}} }}={\sqrt {r'^{2}+\mathrm {Z} '^{2}}},\\g\ =&{\sqrt {\mathrm {(X'-X)^{2}2+(Y'-Y)^{2}+(Z'-Z)^{2}} }}\\&\qquad \qquad \qquad ={\sqrt {r'^{2}+r^{2}-2r'r\cos(\varphi '-\varphi )+(\mathrm {Z'-Z} )^{2}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, en regardant toujours $\varphi ',r'$ et $\mathrm {Z} '$ comme constantes,

${\begin{aligned}\delta f=&{\frac {r\delta r+\mathrm {Z\delta Z} }{f}},\qquad \delta f'=0,\\\delta g=&{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta r-{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta \varphi -{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Ayant fait ces substitutions, on ajoutera ensemble les valeurs de $\mathrm {M} '\int u'\delta ds'$ et de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$ et l’on aura une formule intégrale, dont chaque terme contiendra une des différences $\delta \varphi ,\delta r,\delta \mathrm {Z} ,$ et qui devra être égale à zéro, quelles que soient les valeurs de ces différences. On trouvera donc, en faisant séparément égal à zéro chacun de leurs coefficients, et divisant par $M',$

${\begin{aligned}&-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}+r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt}}+\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\end{aligned}}$

équations qui se réduisent à la forme de celles de l’Article IV en supposant

${\begin{aligned}&r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=-\varpi dt,\\&\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=\Pi dt,\\&d{\frac {dz}{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=\Psi dt.\end{aligned}}$

Et ces équations suffiront pour déterminer l’orbite du corps $\mathrm {M} ',$ en supposant connues les orbites des deux autres corps $\mathrm {M,M''} .$