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XXVIII.

Remarque. — Les équations trouvées pour le mouvement d’un fil vibrant, élastique ou non, peuvent encore l’être d’une autre manière plus directe, en regardant d’abord le fil comme un assemblage d’une infinité de points mobiles ; c’est ce qu’il est bon de faire voir pour développer davantage l’application de notre principe général à ces sortes de questions.

XXIX.

Problème VI. — Trouver le mouvement d’un fil inextensible, dont tous les points sont sollicités par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots .$

Solution. — En conservant les noms donnés dans l’Article XXV soient, de plus, $u$ la vitesse de chaque élément du fil, et $ds$ le petit espace qu’il parcourt dans le temps $dt\,;$ il est facile de voir que la formule du principe général deviendra

$\mathrm {S} dm\int uds.$

On fera donc, suivant notre méthode, l’équation

$\delta \mathrm {S} dm\int uds=0,$

qui se réduira d’abord, à cause que $dm$ est constant pendant que le fil varie de courbe, à

$\mathrm {S} dm\delta \int uds=0,$

savoir à

$\mathrm {S} dm\int (u\delta ds+\delta uds)=\mathrm {S} dm\int u\delta ds+\mathrm {S} dm\int u\delta udt=0,$

en mettant $dt$ pour ${\frac {ds}{u}}.$

Maintenant, si on prend pour chaque élément du fil trois coordonnées