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ligne $q$ décroîtra de la quantité $pd\mathrm {R} \,;$ que de même, en nommant $d\mathrm {Q}$ l’angle de rotation autour de l’axe des $q,$ les lignes $p$ et $r$ deviendront par ce mouvement $p+rd\mathrm {Q} ,\ r-pd\mathrm {Q} \,;$ et qu’enfin l’angle de rotation autour de l’axe des $p$ étant $d\mathrm {P} ,$ il en résultera dans la ligne $q$ un accroissement égal à $rd\mathrm {P} ,$ et dans la ligne $r$ un décroissement égal à $qd\mathrm {P} .$ Donc, en ajoutant ensemble toutes ces différentes variations des lignes $p,q,r,$ et exprimant les variations totales par $dp,dq,dr,$ on aura, en général,

(Q)

$dp=rd\mathrm {Q} +qd\mathrm {R} ,\qquad dq=rd\mathrm {P} -pd\mathrm {R} ,\qquad dr=-qd\mathrm {P} -pd\mathrm {Q} ,$

et par conséquent aussi, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta p=r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta q=r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta r=-q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} .$

On aura donc par là

${\begin{aligned}\delta x\ =&\delta \mathrm {X} +r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\\\delta y\ =&\delta \mathrm {Y} +r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\\\delta z\ =&\delta \mathrm {Z} -q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} \,;\\{\frac {dx}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+q{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dy}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dz}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+dr{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+dq{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

savoir, en mettant pour $dq,dr$ leurs valeurs,

$d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}\,;$

on aura de la même manière

${\begin{aligned}d{\frac {dy}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-pd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,-q{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}-p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}},\\d{\frac {dz}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\,-qd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\,-pd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}-q{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}.\end{aligned}}$