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Je mets l’exposant $^{3}$ au signe $\mathrm {S} ,$ pour exprimer les trois intégrations que ce signe renferme, relativement aux trois variables $x,y,z,$ intégrations que nous aurons souvent occasion dans la suite de considérer chacune en particulier.

Maintenant, comme le fluide est supposé incompressible, il faut que le volume de chaque particule $dm,$ lequel est exprimé par $\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z$ reste toujours le même ; on aura donc

$\operatorname {d} y\operatorname {d} zd\operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} zd\operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} yd\operatorname {d} z=0,$

savoir

${\frac {d\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {d\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {d\operatorname {d} z}{\operatorname {d} z}}=0,$

ou, en mettant $\operatorname {d} d$ au lieu de $d\operatorname {d} ,$

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} dx}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} dy}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} dz}{\operatorname {d} z}}=0.$

On aura par la même raison

$\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z=0,$

ou bien

$\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z=0,$

ce qui donne

$\operatorname {d} \delta x=-\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

et par conséquent

$(c)\quad \qquad \qquad \mathrm {S} \operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

$\delta {\grave {\,}}\!x$ est la valeur de $\delta x,$ quand l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)$ est nulle ; or, comme cette intégrale doit être prise en variant seulement $x,$ il s’ensuit que la quantité $\delta {\grave {\,}}\!x$ sera constante par rapport à $x,$ mais variable par rapport à $y$ et $z,$ c’est-à-dire que cette quantité sera une fonction de $y$ et $z.$

Donc, mettant dans l’équation $(a)$, à la place de $\delta x,$ la valeur qu’on