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d’où l’on tire pour le mouvement de chaque particule du fluide en général

$(e)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Pi dt\right)=&0.\end{aligned}}\right.$

Ensuite, pour satisfaire au reste de l’équation, on fera

$(f)\qquad \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z=0.$

XLI.

Corollaire I. — La valeur de $\mathrm {U} dt$ est

$\mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

l’intégrale étant prise en variant seulement $x\,;$ on substituera donc cette valeur dans les équations $(e)\,;$ mais, pour pouvoir faire disparaître le signe $\mathrm {S} ,$ on prendra les différentielles de ces deux équations en supposant $x$ seul variable, ce qui donnera, en mettant pour ${\frac {\operatorname {d} (Udt)}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur $-\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$ deux équations

$(g)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} y}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\varpi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} z}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\\end{aligned}}\right.$

qui jointes à l’équation $(b)$ trouvée ci-dessus feront connaître les valeurs de $x,y,z$ pour un temps quelconque.

XLII.

Corollaire II. — Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer en général le mouvement d’un fluide non élastique sollicité par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ qui agissent suivant des direc-