Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/516

culaire à la couche, et qui pourra sans erreur sensible être supposée égale à la pesanteur qui tend au centre du sphéroïde ; l’autre horizontale, savoir dans la direction même de la couche, laquelle est à peu près perpendiculaire au rayon ; et soit nommée la première $\Pi ,$ et la seconde $\varpi .$ Par le principe de l’illustre Auteur dont nous venons de parler, il faudra multiplier la force horizontale $\varpi$ par $\Delta rdz,$ $\Delta$ marquant la densité du fluide qu’on suppose être une fonction de $r$ seulement, ensuite la différentier en ne faisant varier que $r\,;$ de même il faudra multiplier la force verticale $\Pi$ par $w\mathrm {D} \left(dr+\alpha {\frac {d\mathrm {Z} }{dr}}dr\right)$ et différentier ensuite en ne faisant varier que $z\,;$ après quoi on égalera les deux différentielles, ce qui donnera l’équation

${\frac {d\Delta r\varpi }{dr}}drdz={\frac {d\left(\Delta \Pi +\Delta \alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}dzdr,$

savoir

${\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi +{\frac {dr\varpi }{dr}}\Delta ={\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}\Delta .$

Or, en faisant le calcul, on trouvera toujours que les quantités $\Pi ,\varpi ,\mathrm {Z}$ seront telles que

${\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}={\frac {r\varpi }{r}}\,;$

donc il ne restera que l’équation

${\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi =0.$

qui donne $\varpi =0,$ savoir la force horizontale nulle, et par conséquent chaque couche de niveau.

XLVI.

Corollaire IV. — Je viens maintenant à l’équation $(f).$ Par la nature des expressions dont cette équation est composée, il est manifeste qu’elle appartient uniquement à la surface postérieure du fluide. Or, si