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ou bien

$z={\frac {y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\left[\mathrm {C-A} \int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt\right].$

Donc, en faisant $\mathrm {A} =0,$ on aurait

$z={\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}=z_{1}.$

et, en faisant $\mathrm {C} =0,$

$z=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt=z_{2}.$

Supposons que les quantités $\mathrm {L,M,N}$ soient constantes, on aura, comme on sait, pour les deux valeurs de $y$ qui satisfont à l’équation $\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0,$ $e^{k_{1}t}$ et $e^{k_{2}t}\,;\ k_{1}$ et $k_{2}$ étant les racines de l’équation $\mathrm {L} +\mathrm {M} k+\mathrm {N} k^{2}=0\,;$ donc

$y_{1}=e^{k_{1}t},\qquad y_{2}=e^{k_{2}t}\,;$

et par conséquent

$z_{1}=-\mathrm {\frac {B}{N}} {\frac {e^{-k_{2}t}}{k_{1}-k_{2}}},\qquad z_{2}=\mathrm {\frac {A}{N}} {\frac {e^{-k_{1}t}}{k_{1}-k_{2}}}\,;$

donc

$y={\frac {e^{k_{2}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{2}t}dt-e^{k_{1}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{1}t}dt}{\mathrm {N} (k_{2}-k_{1})}}.$

Si l’on voulait employer les valeurs de $z_{1}$ et de $z_{2}$ trouvées à la fin du numéro précédent, on aurait

$z_{1}=-{\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\quad {\text{et}}\quad z_{2}=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt,$

ou bien, en mettant pour $y_{1}$ sa valeur $e^{k_{1}t},$

$z_{1}={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {N} }}e^{\left(k_{1}+\mathrm {\frac {M}{N}} \right)t}\quad {\text{et}}\quad z_{2}={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {M+2N} k_{1}}}e^{-k_{1}t}.$