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nant $du$ pour constante,

${\frac {d^{2}t}{dt}}+m{\frac {dt}{t}}=0,$

c’est-à-dire, à cause de $dt=t^{-m}du,$

${\frac {d^{2}t}{dt}}=-mt^{-m-1}du=-{\frac {m}{m+1}}{\frac {du}{u}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et faisant, pour abréger, ${\frac {m}{m+1}}=n,$ on aura

${\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\frac {n}{u}}{\frac {dz}{du}}+az=0.$

Si $n$ était égal à zéro, on aurait ${\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+az=0\,;$ par conséquent $z=e^{ku},$ $k$ étant une des racines de l’équation $k^{2}+a=0.$

Supposons donc $z=xe^{ku},$ on aura, après les substitutions et les réductions,

${\frac {d^{2}x}{du^{2}}}+\left(2k+{\frac {n}{u}}\right){\frac {dx}{du}}+{\frac {nkx}{u}}=0.$

Qu’on fasse

$x=\mathrm {A} u^{r}+\mathrm {B} u^{r+1}+\mathrm {C} u^{r+2}+\ldots ,$

on trouvera, en égalant à zéro les termes homogènes, les équations suivantes :

${\begin{aligned}&r(r-1)\mathrm {A} +nr\mathrm {A} =0,\\&(r+1)r\mathrm {B} +2kr\mathrm {A} +n(r+1)\mathrm {B} +nk\mathrm {A} =0,\\&(r+2)(r+1)\mathrm {C} +2k(r+1)\mathrm {B} +n(r+2)\mathrm {C} +nk\mathrm {B} =0.\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

D’où l’on tire premièrement, ou $r=0,$ ou $r-1+n=0,$ savoir $r=1-n,$ ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&-{\frac {2r+n}{(r+1)(r+n)}}k\mathrm {A} ,\\\mathrm {C} =&-{\frac {2(r+1)+n}{(r+2)(r+1+n)}}k\mathrm {B} ,\\\mathrm {D} =&-{\frac {3(r+2)+n}{(r+3)(r+2+n)}}k\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$