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Si les deux parois sont des lignes droites, de sorte que

$x=h+ht\quad {\text{et}}\quad x'=h'+k't,$

on en viendra à bout de la manière suivante. On supposera $h'=h+\mathrm {H} ,$$k'=k+\mathrm {K} ,$ et la seconde équation deviendra, en faisant $\mathrm {H+K} t=\mathrm {X} ,$

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}+\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {N} .$

Soient maintenant

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)=y\quad {\text{et}}\quad \Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=y'\,;$

on aura ces deux équations :

${\begin{aligned}&y-y'=\mathrm {M} ,\\&y\ +{\frac {dy}{dt}}\ \mathrm {X} {\sqrt {-1}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ {\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}\ {\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}+\ldots \\-&y'+{\frac {dy'}{dt}}\mathrm {X} {\sqrt {-1}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y'}{dt^{3}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}-\ldots =\mathrm {N} .\end{aligned}}$

La première donne

$y'=y-\mathrm {M} ,\qquad {\frac {dy'}{dt}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots$

donc la seconde deviendra

$2{\frac {dy}{dt}}\mathrm {X} {\sqrt {-1}}+2{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}+\ldots +\mathrm {M=N} ,$

ou bien

$2{\sqrt {-1}}(\mathrm {H+K} t){\frac {dy}{dt}}+2{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}(\mathrm {H+K} t)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}$

$+2{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{5}}{2.3.4.5}}(\mathrm {H+K} t)^{5}{\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}-\ldots =\mathrm {N-M} ,$

équation qui est dans le cas de la formule (S) du n^o 18, et l’on aura

$\alpha =1,\quad \beta =-1,\quad \gamma =0\,;\quad a={\sqrt {-1}},\quad b=-{\sqrt {-1}}\,;\quad h=\mathrm {H} ,\quad k=\mathrm {K} \,;$

donc, etc.