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tions $(l),$ et les deux termes ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2}$ deviendront, en faisant $\rho _{1}=r_{1}{\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}{\frac {r_{1}}{2\mathrm {R} _{1}}}&{\frac {d\left[\nu _{1}^{(s)}\left(\lambda '_{1}\mathrm {Y} '+\lambda ''_{1}\mathrm {Y} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]}{dr_{1}}}\cos r_{1}t\\&+{\frac {r_{1}}{2\mathrm {R} _{1}}}{\frac {d\left[{\cfrac {\nu _{1}^{(s)}}{r_{1}}}\left(\lambda '_{1}\mathrm {V} '+\lambda ''_{1}\mathrm {V} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right)\right]}{dr_{1}}}\sin r_{1}t.\end{aligned}}$

Mais si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient égales et positives, alors on aurait encore deux autres conditions à remplir, savoir

${\begin{aligned}&{\frac {d\left[\nu _{1}^{(s)}\left(\lambda '_{1}\mathrm {Y} '+\lambda ''_{1}\mathrm {Y} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]}{d\rho _{1}}}=0,\\&{\frac {d\left[{\cfrac {\nu _{1}^{(s)}}{\rho _{1}}}\left(\lambda '_{1}\mathrm {V} '+\lambda ''_{1}\mathrm {V} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right)\right]}{d\rho _{1}}}=0,\end{aligned}}$

et ainsi du reste.

Mais il y a ici une remarque importante à faire : c’est que les équations $(a)$ n’étant qu’approchées, l’équation $\mathrm {P} =0$ doit aussi être regardée comme telle, de sorte que lorsqu’on trouve des racines égales, on n’est pas en droit d’en conclure que les valeurs de $\rho$ sont égales, mais seulement qu’elles ne diffèrent que par des quantités infiniment petites ; d’où il s’ensuit qu’à la rigueur, l’égalité des racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ ne suffit pas pour introduire des arcs de cercle dans les valeurs de $y',y'',y''',\ldots ,$ en tant que ces quantités représentent les espaces parcourus dans les oscillations des corps. Cependant, comme la supposition de $\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité très-petite, rend aussi les quantités $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ très-petites du même ordre, comme on peut s’en assurer par ce qui a été dit dans le numéro précédent sur le cas des racines égales, il est clair que les quantités ${\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}$ et ${\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ contiendront des termes finis, et qu’ainsi il faudra, pour que les valeurs de $y',y'',y'''\ldots$ soient toujours très-petites, que les termes dont il s’agit disparaissent entièrement de l’expression de $y^{(s)},$ ce qui donnera, en négligeant les quantités infini-