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${\begin{aligned}\rho ^{2}\nu '''&+{\frac {-2\nu ''+5\nu '''-3\nu ^{\mathrm {iv} }}{a}}=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ^{2}\nu ^{(n)}&+{\frac {-(n-1)\nu ^{(n-1)}+(2n-1)\nu ^{(n)}}{a}}=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, comme ci-dessus,

$\nu ^{(m)}=\left[1+(m-1)a\rho ^{2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{4}}a^{2}\rho ^{4}\right.$

$\left.+{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{4.9}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]\nu ',$

ou bien, en supposant $\lambda '=\nu '=1$ pour plus de simplicité,

$\nu ^{(m)}=\lambda ^{(m)},$

et, par conséquent,

$\nu _{1}^{(m)}=\lambda _{1}^{(m)},\qquad \nu _{2}^{(m)}=\lambda _{2}^{(m)},\ldots .$

On aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+\lambda '''^{2}+\ldots +\lambda ^{(n)2}\\=&1+\left(1+a\rho ^{2}\right)^{2}+\left(1+2a\rho ^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}\rho ^{4}\right)^{2}+\ldots \\&+\left[1+(n-1)a\rho ^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+\ldots \right]^{2}.\end{aligned}}$

Mais on peut trouver une expression plus simple de cette quantité par la méthode du n^o 31. Car on a d’abord

$\mathrm {P} =1+na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots ,$

d’où l’on tire

${\frac {1}{2}}\rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.3}}\rho ^{6}+\ldots .$

Or, en faisant $\rho =0,$ on a

$\lambda '=1,\quad \lambda ''=1,\quad \lambda '''=1,\ldots \,;$