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en prenant /pour la longueur de ce pendule,

${\begin{aligned}\mathrm {Y} ^{(s)}=&\left[1-{\frac {(s-1)a}{l}}+{\frac {(s-1)(s-2)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots \right]\mathrm {Y} ',\\\mathrm {V} ^{(s)}=&\left[1-{\frac {(s-1)a}{l}}+{\frac {(s-1)(s-2)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots \right]\mathrm {V} ',\\\end{aligned}}$

et la valeur de $l$ devra se déterminer par l’équation

$1-{\frac {na}{l}}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots =0.$

Des vibrations d’une corde tendue et chargée d’un nombre
quelconque de poids.

38. Quoique j’aie déjà résolu ce problème dans mes Recherches sur le son, imprimées dans le premier volume de ces Mémoires, je crois pouvoir le redonner ici, non-seulement pour faire voir comment ma méthode générale s’y applique, mais encore parce qu’il me donnera lieu de faire de nouvelles réflexions sur les vibrations des cordes sonores, qui pourront être utiles à l’éclaircissement de cette matière épineuse et délicate.

Supposons une corde chargée de $n$ poids égaux qui la divisent en $n+1$ parties égales que nous ferons chacune égale à $a,$ et tendue par un poids qui soit à la somme de ceux dont la corde est chargée comme $c^{2}$ est à $1\,;$ nommant $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}$ les distances des poids à l’axe de la corde, et faisant, pour abréger,

${\frac {nc^{2}}{a}}=k^{2},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\ \ &-k^{2}\left(-2y'+y''\right)=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}\,\ &-k^{2}\left(y'\,-2y''\ +y'''\right)=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}\ &-k^{2}\left(y''-2y'''+y^{\mathrm {iv} }\right)=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&-k^{2}\left(y^{(n-1)}-2y^{(n)}\right)=0.\end{aligned}}$