Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/600

Donc, en comparant ces équations avec les équations générales du n^o 30, on aura les équations suivantes en $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots ,$

${\begin{aligned}&\rho ^{2}\lambda '\ \ -k^{2}\left(-2\lambda '+\lambda ''\right)=0,\\&\rho ^{2}\lambda ''\ -k^{2}\left(\lambda '\ -2\lambda ''\,+\lambda '''\right)=0,\\&\rho ^{2}\lambda '''-k^{2}\left(\lambda ''-2\lambda '''+\lambda ^{\mathrm {iv} }\right)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\rho ^{2}\lambda ^{(n)}-k^{2}\left(\lambda ^{(n-1)}-2\lambda ^{(n)}\right)=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en supposant $1+{\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi ,$

$\lambda ''={\frac {\sin 2\varphi }{\sin \varphi }}\lambda ',\qquad \lambda '''={\frac {\sin 3\varphi }{\sin \varphi }}\lambda ',\ldots ,$

et en général

$\lambda ^{(m)}={\frac {\sin m\varphi }{\sin \varphi }}\lambda '.$

Et pour la détermination de l’angle $\varphi ,$ c’est-à-dire de la quantité $\rho ,$ on aura l’équation

$\lambda ^{(n+1)}={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}\lambda '=0,$

laquelle donne

$\varphi ={\frac {m\pi }{n+1}},$

$\pi$ exprimant l’angle de $180$ degrés, et $m$ un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu’à $n$ inclusivement. De sorte qu’on aura

$\rho =k{\sqrt {2\cos \varphi -2}}=2k\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {-1}}=2k\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}{\sqrt {-1}}\,;$

ce qui donnera toutes les valeurs de $\rho$ que nous avons désignées par $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ en faisant $m$ successivement égal à $1,2,3,\ldots ,n.$

On trouvera des équations entièrement semblables en $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots$ d’où l’on tirera pareillement

$\nu ^{(m)}={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}.$