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où l’on remarquera que

$x{\sqrt {1-x^{2}}}=\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\cos {\frac {m\pi }{2(n+1)}}={\frac {1}{2}}\sin {\frac {m\pi }{n+1}}.$

Maintenant (n^o 38)

$\mathrm {Y} _{m}=\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\,;$

donc, si l’on multiplie cette quantité par $x^{2},$ c’est-à-dire par

$\left[\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\right]^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-\cos {\frac {m\pi }{n+1}}\right),$

et qu’on développe les produits des sinus et des cosinus, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{m}x^{2}={\frac {1}{4}}&\left\{\mathrm {Y} '\left(2\sin {\frac {m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right)\right.\\&\ \ +\mathrm {Y} ''\left(2\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {m\pi }{n+1}}\right)\\&\ \ +\mathrm {Y} '''\left(2\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {4m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right)\\&\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\ \ \left.+\mathrm {Y} ^{(n)}\left[2\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}-\sin {\frac {(n+1)m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {(n-1)m\pi }{n+1}}\right]\right\}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&=-{\frac {1}{4}}\left[(\mathrm {Y''-2Y'} )\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+(\mathrm {Y'''-2Y''+Y} )\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.\\&\left.+\left(\mathrm {Y^{\mathrm {iv} }-2Y'''+Y''} \right)\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\left[-2\mathrm {Y} ^{(n)}+\mathrm {Y} ^{(n-1)}\right]\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right],\end{aligned}}$

à cause de $\sin {\frac {(n+1)m\pi }{n+1}}=\sin m\pi =0.$

Qu’on dénote par $\Delta ^{2}\mathrm {Y}$ les différences secondes des quantités $\mathrm {Y}$ dans la suite $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,Y} ^{(n)},$ de sorte que l’on ait en général

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s)}=\mathrm {Y} ^{(s+1)}-2\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {Y} ^{(s-1)},$

et supposant

$\mathrm {Y} ^{0}=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} ^{(n+1)}=0$

(ce qui est permis, à cause que les quantités $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,Y} ^{(n)}$ sont les