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$\varphi$ et $\psi$ dénotant des fonctions, on aura (numéro précédent)

${\begin{aligned}&y^{(s)}={\frac {1}{2}}\left[\varphi \left({\frac {s+kt}{n+1}}\right)+\varphi \left({\frac {s-kt}{n+1}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{4}}\left[\psi \left({\frac {s+1+kt}{n+1}}\right)-\psi \left({\frac {s-1+kt}{n+1}}\right)-\psi \left({\frac {s+1-kt}{n+1}}\right)+\psi \left({\frac {s-1-kt}{n+1}}\right)\right].\end{aligned}}$

D’où l’on voit que pour avoir la valeur d’une $y$ quelconque, comme $y^{(s)},$ après un temps quelconque $t,$ il n’y aura qu’à tracer deux courbes, dont les ordonnées répondant aux abscisses $x$ soient $\varphi (x)$ et $\psi (x),$ et prendre ensuite dans la première de ces courbes

${\frac {1}{2}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+kt}{n+1}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-kt}{n+1}},$

et dans la seconde

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+1+kt}{n+1}}&-{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-1+kt}{n+1}}\\&-{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+1-kt}{n+1}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-1-kt}{n+1}}.\end{aligned}}$

Substituons maintenant dans les expressions de $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ les valeurs de $\mathrm {Y_{1},Y_{2},Y_{3}} ,\ldots ,\mathrm {Y} _{n},\ \mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,\mathrm {P} _{n},$ et $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,\mathrm {Q} _{n},$ et supposant en général

${\begin{aligned}\chi (u,x)=&\sin u\pi \sin x\pi +\sin 2u\pi \sin 2x\pi +\sin 3u\pi \sin 3x\pi +\ldots \\&+\sin nu\pi \sin nx\pi ,\end{aligned}}$

nous aurons

${\begin{aligned}\varphi (x)=&2{\frac {\mathrm {Y'+P'} }{n+1}}\chi \left({\frac {1}{n+1}},x\right)+2{\frac {\mathrm {Y''+P''} }{n+1}}\chi \left({\frac {2}{n+1}},x\right)\\&+2{\frac {\mathrm {Y'''+P'''} }{n+1}}\chi \left({\frac {3}{n+1}},x\right)+\ldots +2{\frac {\mathrm {Y} ^{(n)}+\mathrm {P} ^{(n)}}{n+1}}\chi \left({\frac {n}{n+1}},x\right)\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}\psi (x)=&2{\frac {\mathrm {Q} '}{n+1}}\chi \left({\frac {1}{n+1}},x\right)+2{\frac {\mathrm {Q} ''}{n+1}}\chi \left({\frac {2}{n+1}},x\right)\\&+2{\frac {\mathrm {Q} '''}{n+1}}\chi \left({\frac {3}{n+1}},x\right)+\ldots +2{\frac {\mathrm {Q} ^{(n)}}{n+1}}\chi \left({\frac {n}{n+1}},x\right).\end{aligned}}$