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déterminer, pour un temps quelconque $t,$ la figure du polygone vibrant, comme nous l’avons enseigné plus haut.

À l’égard de la continuation de ces courbes, il est clair qu’elles s’étendront de part et d’autre à l’infini, et seront composées de branches égales, semblables et alternativement situées au-dessus et au-dessous de l’axe, de sorte qu’il ne faudra que tracer les branches qui répondent à l’axe $1,$ et les transporter ensuite alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe prolongé à l’infini de part et d’autre.

40. Supposons présentement que le nombre $n$ des corps soit très-grand, et que, par conséquent, la distance $a$ d’un corps à l’autre soit très-petite, la longueur de toute la corde étant égale à $1\,;$ il est clair que les différences $\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\Delta ^{4}\mathrm {Y} ,\ldots$ deviendront très-petites du second ordre, du quatrième, … ; donc, puisque $k={\sqrt {\frac {nc^{2}}{a}}}={\frac {c}{a}},$ à cause de $n={\frac {1}{a}},$ les quantités $k\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,$$k\Delta ^{4}\mathrm {Y} ,k^{2}\Delta ^{6}\mathrm {Y} ,\ldots$ seront très-petites du premier ordre du troisième, du quatrième, …, et par conséquent les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ pourront être regardées et traitées comme nulles sans erreur sensible Ainsi, dans cette hypothèse, on aura à très-peu près le mouvement de la corde, en faisant passer par les sommets des ordonnées très-proches $\mathrm {Y',Y'',Y'''} ,\ldots ,$ lesquelles représentent la figure initiale du polygone vibrant, une courbe dont l’équation soit

$y=\alpha \sin \pi x+\beta \sin 2\pi x+\gamma \sin 3\pi x+\ldots +\omega \sin n\pi x.$

et que j’appellerai génératrice, et prenanl ensuite pour l’ordonnée du polygone vibrant, qui répond à une abscisse quelconque ${\frac {s}{n+1}}=x,$ la demi-somme de deux ordonnées de cette courbe, desquelles l’une réponde à l’abscisse

${\frac {s+kt}{n+1}}=x+ct,$

et l’autre réponde à l’abscisse

${\frac {s-kt}{n+1}}=x-ct\,;$