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est

${\begin{aligned}y=f\cos \mathrm {K} t+{\frac {g}{\mathrm {K} }}\sin \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1)&+{\frac {a}{\mathrm {K} ^{2}-\alpha ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \alpha t)\\&+{\frac {b}{\mathrm {K} ^{2}-\beta ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \beta t)+\ldots ,\end{aligned}}$

$f$ et $g$ étant deux constantes arbitraires dont l’une exprime la valeur de $y,$ et l’autre celle de ${\frac {y}{t}},$ lorsque $t=0.$

Si $\alpha =\mathrm {K} ,$ on trouvera, en faisant $\alpha =\mathrm {R} +\omega$ et regardant $\omega$ comme une quantité évanouissante, que les termes

${\frac {a}{\mathrm {K} ^{2}-\alpha ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \alpha t)$

se réduisent à celui-ci :

$-{\frac {a}{2\mathrm {K} }}t\sin \mathrm {K} t.$

43. Cela posé, pour intégrer l’équation (A) suivant la méthode ordinaire d’approximation, on négligera d’abord les termes affectés de $i,$ et l’on aura pour première équation approchée

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} =0.$

et, par conséquent,

$y=f\cos \mathrm {K} t+{\frac {g}{\mathrm {K} }}\sin \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1).$

On substituera ensuite cette première valeur de $y$ dans le terme $i\mathrm {M} y^{2},$ en négligeant le terme suivant $i^{2}\mathrm {N} y^{3},$ et faisant, pour plus de simplicité,

$g=0\quad {\text{et}}\quad f+\mathrm {{\frac {L}{K^{2}}}=F} \,;$

on aura la nouvelle équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M\left({\frac {F^{2}}{2}}+{\frac {L^{4}}{K^{4}}}\right)} -2i\mathrm {\frac {MLF}{K}} \cos \mathrm {K} t+i\mathrm {\frac {MF^{2}}{2}} \cos 2\mathrm {K} t=0,$