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tion par $i,$ la seconde par $i^{2},$ la troisième par $i^{3},$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {2c\sin b}{a^{2}}}+\gamma \mathrm {K} ^{2}+6i\delta \mathrm {L} +6i^{2}\varepsilon \mathrm {H} =0,\\-&{\frac {3c\sin b}{a^{3}}}+\gamma \mathrm {M} +4\delta \mathrm {K} ^{2}+15i\varepsilon \mathrm {L} =0,\\&{\frac {4c\sin b}{a^{4}}}+\gamma \mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\delta \mathrm {M} +9\varepsilon \mathrm {K} ^{2}=0.\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en négligeant ce qu’on doit négliger,

${\begin{aligned}\gamma =&-{\frac {2c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {6i\mathrm {L} }{\mathrm {K} ^{2}}}\delta -{\frac {6i^{2}\mathrm {H} }{\mathrm {K} ^{2}}}\varepsilon =0,\\\delta =&{\frac {c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}\left({\frac {3}{4a}}+\mathrm {\frac {M}{2K^{2}}} +{\frac {9i\mathrm {LM} }{8a\mathrm {K} ^{4}}}+{\frac {3i\mathrm {LM} ^{2}}{4\mathrm {K} ^{6}}}\right)-{\frac {15i\mathrm {L} }{4\mathrm {K} ^{2}}}\varepsilon ,\\\varepsilon =&{\frac {c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}\left(-{\frac {4}{9a^{2}}}+\mathrm {\frac {2N}{9K^{2}}} -{\frac {5\mathrm {M} }{18a\mathrm {K} ^{2}}}-{\frac {5\mathrm {M} ^{2}}{27\mathrm {K} ^{4}}}\right).\end{aligned}}$

Donc si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {S} ={\frac {c\sin b}{a}}-i\gamma \mathrm {L} -2i^{2}\delta \mathrm {H} ,$

on aura

(K)

$\varphi =\mathrm {S} t+i\gamma g-i\left(\gamma +2i\delta y+3i^{2}\varepsilon y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}.$

Or $y$ est déjà connu en $t,$ donc on connaîtra aussi $\varphi$ en $t.$

Il est à remarquer que $\mathrm {S} t+i\gamma g$ représente l’angle du mouvement moyen ; de sorte que si l’on nomme cet angle $\theta ,$ et qu’on substitue dans les équations (H) et (K) ${\frac {\theta -i\gamma g}{\mathrm {S} }}$ au lieu de $t,$ on aura les formules qui feront trouver le lieu vrai du corps, son lieu moyen étant donné.

Il est visible que les absides de l’orbite se trouveront aux points où $dy=0\,;$ or, si l’on différentie l’équation (H) et qu’on fasse ensuite $dy=0,$ on aura

$-\mathrm {RF} \sin \mathrm {R} t+\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t=0,$

c’est-à-dire

$\operatorname {tang} \mathrm {R} t=\mathrm {\frac {G}{RF}} .$