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Soit $h$ le plus petit angle qui répond à la tangente $\mathrm {\frac {G}{RF}} ,$ et l’on aura

$\mathrm {R} t=h+\mu \pi ,$

$\pi$ dénotant l’angle de $180$ degrés, et $\mu$ un nombre quelconque entier ; maintenant l’équation (K) donnera, lorsque $dy=0,$

$\varphi =\mathrm {S} t+i\gamma g\,;$

donc, mettant au lieu de $t$ sa valeur ${\frac {h+\mu \pi }{\mathrm {R} }},$ on aura pour les lieux des absides

$\varphi =i\gamma g+\mathrm {\frac {S}{R}} (h+\mu \pi )\,;$

d’où l’on voit que la distance d’une abside à l’autre sera égale à l’angle $\mathrm {\frac {S}{R}} \pi ,$ et que par conséquent le mouvement des absides sera de $\left(\mathrm {\frac {S}{R}} -1\right)360$ degrés à chaque révolution.

48. Si l’on veut connaître la figure de l’orbite décrite par les corps, il faudra éliminer $t$ des équations (H) et (K) pour avoir une équation entre $y$ et $\varphi$ ; mais il sera beaucoup plus simple de substituer d’abord dans l’équation ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\Delta r=0,$ au lieu de $dt,$ sa valeur ${\frac {r^{2}d\varphi }{ac\sin b}},$ ce qui donnera, en faisant ${\frac {1}{r}}=s$ et prenant $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s=-{\frac {\Delta {\cfrac {1}{s}}}{s^{2}a^{2}c^{2}\sin ^{2}b}}=0,$

et d’intégrer ensuite cette dernière équation par la méthode du n^o 46.

En effet, puisque $r$ est à peu près égale à $a,$ par hypothèse, $s$ sera à peu près égale à ${\frac {1}{a}},$ et par conséquent on pourra supposer

$s={\frac {1}{a}}+iy,$

ce qui, en faisant

${\frac {\Delta {\cfrac {1}{s}}}{s^{2}a^{2}t^{2}\sin ^{2}b}}=\Gamma s,$