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on aura

${\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mu -k'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}+{\frac {1}{2}},\quad {\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mu -k'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}-{\frac {1}{2}},$

${\frac {\mathrm {M+N} h'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mathrm {M+N} h'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}$

ensuite on trouvera

${\begin{aligned}\cos \left[(h+im_{1})t\right]=&\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}+\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\sin \left[(h+im_{1})t\right]=&\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}-\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\cos \left[(h+im_{2})t\right]=&\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}-\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\sin \left[(h+im_{2})t\right]=&\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}+\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}$

Ces substitutions faites, on verra que les imaginaires se détruiront dans la formule $(h),$ et qu’elle deviendra

${\begin{aligned}y=&\left[\mathrm {F} \cos \left[(h+i\mu )t\right]+{\frac {\mathrm {G} }{h}}\sin \left[(h+i\mu )t\right]\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}\\&\quad -\left[\left({\frac {\mu -k'}{\nu }}\mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h\nu }}\mathrm {F} '\right)\sin \left[(h+i\mu )t\right]\right.\end{aligned}}$

$-\left.\left({\frac {\mu -k'}{h\nu }}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'\nu }}\mathrm {G} '\right)\cos \left[(h+i\mu )t\right]\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2}}+\Theta .$

Ainsi, dans le cas où l’équation $(d)$ a ses deux racines imaginaires, la valeur de $y$ contient nécessairement des exponentielles toutes réelles, et qui croissent à l’infini à mesure que $t$ croit.

Application de la solution précédente à la théorie de Jupiter
et de Saturne.

67. Soient $\mathrm {I}$ la masse du Soleil, $\mathrm {J}$ celle de Jupiter, $r$ le rayon vecteur de l’orbite de cette planète projetée sur le plan de l’écliptique (plan que nous regarderons comme absolument fixe et immobile $\varphi$ l’angle décrit