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72. Les observations nous apprennent que le mouvement de Jupiter autour du Soleil est à peu près circulaire et uniforme, et que le plan de son orbite ne fait qu’un très-petit angle avec celui de l’écliptique ; d’où il s’ensuit que si l’on nomme $a$ la distance moyenne de Jupiter au Soleil, et $h$ sa vitesse angulaire moyenne, on pourra supposer

$r=a(1+iy),\quad \varphi =ht+ix,\quad q=iz,$

$y,x,z$ étant des quantités variables, et $i$ un coefficient très-petit, où il faut remarquer que les valeurs de $y$ et de ${\frac {dx}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme tout constant ; autrement, contre l’hypothèse, $a$ et $h$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}}.$

Cela posé, si l’on fait ces substitutions dans les équations $(i)$ du n^o 68, et qu’on divise la première par $a,$ on aura, en poussant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{3},$

${\begin{aligned}i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}\left(1-3iy+6i^{2}y^{2}-10i^{3}y^{3}\right)\\&+{\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}\left(1-2iy+3i^{2}y^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}z^{2}-4i^{3}y^{3}+3i^{3}yz^{2}\right)+{\frac {\mathrm {R} }{a}}=0.\\i{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+i{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}z\left(1-4iy+10i^{2}y^{2}\right)\\&+2i^{2}\left({\frac {dzdy}{dt^{2}}}-iy{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0.\\h+i&{\frac {dx}{dt}}-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}\left(1-2iy+3i^{2}y^{2}-4i^{3}y^{3}\right)=0.\end{aligned}}$

On voit d’abord par ces équations que les quantités

$-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}+{\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} }{a}},\quad {\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}\quad {\text{et}}\quad h-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}$

doivent être chacune très-petites de l’ordre de $i,$ pour que les hypothèses que nous avons faites puissent subsister.