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${\begin{aligned}&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}y\ \left({\mathfrak {P}}_{6}\sin \theta +{\mathfrak {Q}}_{6}\sin 2\theta +{\mathfrak {R}}_{6}\sin 3\theta +\ldots \right)\\&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}y'\left({\mathfrak {P}}_{7}\sin \theta +{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\theta +{\mathfrak {R}}_{7}\sin 3\theta +\ldots \right).\end{aligned}}$

Enfin on a

${\frac {p-p}{v^{3}}}=i\left(z{\frac {r}{v^{3}}}-z'{\frac {r'}{v^{3}}}\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {p'}{u'^{3}}}=iz'{\frac {1}{r'^{2}\left(1+q'^{2}\right)}}\,;$

d’où, en négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$ on aura

$\mathrm {P} =i\mathrm {J} '\left[(za-z'a')({\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +\ldots )+{\frac {z'}{a'^{2}}}\right].$

De sorte que, si l’on fait

${\begin{alignedat}{3}{\mathfrak {A}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {A_{1}-A_{2}}},&{\mathfrak {B}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {B_{1}-B_{2}}},&{\mathfrak {C}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {C_{1}-C_{2}}},\ldots ,\\{\mathfrak {A}}_{5}=&{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}-a^{2}a'{\mathfrak {A}}_{1},\qquad &{\mathfrak {B}}_{5}=&-a^{2}a'{\mathfrak {B}}_{1},\qquad &{\mathfrak {C}}_{5}=&-a^{2}a'{\mathfrak {C}}_{1},\ldots ,\end{alignedat}}$

on aura, aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=&i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{3}}}z\ \left({\mathfrak {A}}_{4}+{\mathfrak {B}}_{4}\sin \theta +{\mathfrak {C}}_{4}\sin 2\theta +{\mathfrak {D}}_{4}\sin 3\theta +\ldots \right)\\+&i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{3}}}z'\left({\mathfrak {A}}_{5}+{\mathfrak {B}}_{5}\sin \theta +{\mathfrak {C}}_{5}\sin 2\theta +{\mathfrak {D}}_{5}\sin 3\theta +\ldots \right).\end{aligned}}$

Et il ne restera plus, pour achever les substitutions, qu’à mettre au lieu de $\theta ,$ c’est-à-dire au lieu de $\varphi -\varphi ',$ sa valeur $(h-h')t+i(x-x'),$ ou bien, en faisant $h-h'=\mathrm {H,\ H} t+i(x-x'),$ ce qui est très-facile, car il n’y aura qu’à mettre partout dans les expressions précédentes $\mathrm {H} t$ à la place de $\theta ,$ et ajouter ensuite à la valeur de $\mathrm {R}$ la quantité

$-i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{2}}}(x-x')\left({\mathfrak {B}}_{2}\sin \mathrm {H} t+2{\mathfrak {C}}_{2}\sin 2\mathrm {H} t+3{\mathfrak {D}}_{2}\sin 3\mathrm {H} t+\ldots \right),$

et à celle de $\mathrm {Q}$ la quantité

$i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}(x-x')\left({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+2{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+3{\mathfrak {C}}_{3}\cos 3\mathrm {H} t+\ldots \right).$

76. On sait que les masses de Jupiter et de Saturne sont très-petites