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Je conserve exprès le terme $2i\mathrm {n} \int \Psi dz,$ parce que la quantité $\Psi$ contient un terme de cette forme ${\mathfrak {B}}_{s}z'\cos \mathrm {H} t,$ lequel étant multiplié par $dz,$ et ensuite intégré, après avoir substitué les valeurs de $z$ et de $z'$ en $t,$ se trouvera divisé par des quantités de l’ordre de $i.$

Or l’équation $(m)$ donne, en rejetant tous les termes affectés de $i,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+h^{2}z=0,$

et par conséquent

$\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy+h^{2}\int z^{2}dy=0\,;$

mais, en mettant au lieu de ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-h^{2}z^{2}-\mathrm {B}$ et $-h^{2}y-\mathrm {g} +2h\mathrm {f} ,$ car on peut négliger ici tous les termes affectés de $i$ et de $n,$

${\begin{aligned}\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy&=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}-\int \left({\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dy+z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dz\right)\\&=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+h^{2}\int z^{2}dy+\mathrm {B} y+h^{2}\int yzdz+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2},\end{aligned}}$

et, à cause de $\int yzdz={\frac {1}{2}}yz^{2}-{\frac {1}{2}}\int z^{2}dy,$

$\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+{\frac {h^{2}}{2}}\int z^{2}dy+\mathrm {B} y+{\frac {h^{2}}{2}}yz^{2}+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2}.$

Donc on aura

${\frac {3}{2}}h^{2}\int z^{2}dy+{\frac {h^{2}}{2}}yz^{2}+z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+\mathrm {B} y+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2}=0\,;$

d’où l’on tire

$\int z^{2}dy=-{\frac {1}{3}}yz^{2}-{\frac {2}{3h^{2}}}z{\frac {dydz}{dt^{2}}}-{\frac {-2\mathrm {B} }{3h^{2}}}y-{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{3h^{2}}}z^{2}.$

Donc, si l’on met cette valeur dans la première des deux équations ci-dessus, et qu’on substitue $-h^{2}\int z^{2}dy-\mathrm {B} y$ dans la seconde à la