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Soit $\alpha '-\alpha =\mathrm {A} ,$ c’est-à-dire $\alpha '=a+\mathrm {A} ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \alpha _{1}&={\frac {\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]\sin \alpha +2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \cos \alpha }{\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]\cos \alpha -2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \sin \alpha }},\\\delta _{1}&={\frac {\sqrt {(k-k')^{2}\delta ^{2}+4(k-k')\mathrm {P} \delta \delta '\cos \mathrm {A} +4\mathrm {P} ^{2}\delta '^{2}}}{2h\nu }}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

$(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} =\delta s\cos u\quad {\text{et}}\quad 2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} =\delta s\sin u.$

on aura :

1^o $\operatorname {tang} \alpha _{1}={\frac {\cos u\sin \alpha +\sin u\cos \alpha }{\cos u\cos \alpha -\sin u\sin \alpha }}={\frac {\sin(u+\alpha )}{\cos(u+\alpha )}}=\operatorname {tang} (u+\alpha )\,;$

donc $\alpha _{1}=u+\alpha ,$ et par conséquent $\eta =u.$

2^o $\delta s={\sqrt {\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]^{2}+\left(2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \right)^{2}}}=2h\nu \delta _{1}=2h\nu \beta \delta \,;$

donc

$\beta ={\frac {s}{2h\nu }}.$

Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité, ${\frac {\delta '}{\delta }}=\mathrm {b} ,$ on aura

$\beta ={\frac {\sqrt {\left(k-k'+2\mathrm {Pb\cos A} \right)^{2}+\left(2\mathrm {Pb\sin A} \right)^{2}}}{2h\nu }},$

$\sin \eta ={\frac {\mathrm {Pb\sin A} }{h\nu \beta }},\qquad \cos \eta ={\frac {k-k'+2\mathrm {Pb\cos A} }{2h\nu \beta }}.$

Et, pour avoir les valeurs de $\beta ',\sin \eta ',$ et $\cos \eta ',$ il n’y aura qu’à mettre $k'$ au lieu de $k,$ $\alpha '$ au lieu de $\alpha ,$ $\delta '$ au lieu de $\delta ,$ et vice versâ, et marquer ensuite toutes les autres lettres d’un trait ; ce qui donnera, à cause de $\mathrm {b} ={\frac {\delta '}{\delta }}$ et $\mathrm {A} =\alpha '-\alpha ,$

$\beta '={\frac {\sqrt {\left(k'-k+\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\cos A} \right)^{2}+\left(\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\sin A} \right)^{2}}}{2h'\nu '}},$

$\sin \eta '=-{\frac {\mathrm {P'\sin A} }{\mathrm {b} h'\nu '\beta '}},\qquad \cos \eta '={\frac {k'-k+\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\cos A} }{2h'\nu '\beta '}}.$