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DE MAXIMIS ET MINIMIS.

d’où $p=0,$ et $\mathrm {A} >0$ pour le minimum, $\mathrm {A} <0$ pour le maximum (1). Que $t$ et $u$ soient à présent toutes deux variables, il en résultera

$d\mathrm {Z} =pdt+qdu,$

qui, à cause de $p=0,$ se réduit à

$d\mathrm {Z} =qdu,$

d’où l’on tire

$d^{2}\mathrm {Z} =(\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du)du\,;$

mais puisque $p=0,$ $dp$ le sera aussi, et par conséquent

$\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du=0,$

ce qui donne

$dt=-{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}\,;$

cette valeur substituée dans $d^{2}\mathrm {Z}$ la changera en

$d^{2}\mathrm {Z=\left(-{\frac {B^{2}}{A}}+C\right)} du^{2},$

j’aurai donc $q=0$ et

$\mathrm {-{\frac {B^{2}}{A}}+C} >0$

pour le minimum, et

$\mathrm {-{\frac {B^{2}}{A}}+C} <0$

pour le maximum, savoir, puisque $\mathrm {A}$ est positif dans le premier cas et négatif dans le second, en multipliant par $\mathrm {A} ,$ il résultera toujours la même condition de $\mathrm {AC>B^{2}} .$ Si, outre les deux précédentes, il y a encore une troisième variable $x$ à considérer, je cherche la valeur de $d\mathrm {Z}$ eu égard à ces trois variables $t,u,x,$ et je trouve

$d\mathrm {Z} =pdt+qdu+rdx,$