satisfaisant, et qui n’est, ce me semble, dans le fond qu’une espèce de pétition de principe (voyez le Chapitre XIX de son Algèbre). Il s’ensuit de là que le problème dont il s’agit n’a pas encore été résolu d’une manière suffisante et qui ne laisse rien à désirer ; c’est ce qui m’a déterminé à en faire l’objet de mes recherches, d’autant plus que la solution de ce problème est comme la clef de tous les autres problèmes de ce genre.
1. Soit le nombre donné non carré, le carré cherché et un autre carré quelconque, la question se réduit à satisfaire à cette équation : en ne prenant pour et que des nombres entiers ; ainsi il s’agit de trouver deux nombres entiers et tels que
Qu’on tire la racine carrée de par approximation, et l’on aura une fraction décimale qu’on pourra changer, par les méthodes connues, en une fraction continue, laquelle ira nécessairement à l’infini, à cause que est une quantité irrationnelle par l’hypothèse.
Pour cela il n’y aura qu’à diviser d’abord le numérateur de la fraction trouvée par son dénominateur, ensuite le dénominateur par le reste, et ainsi de suite, en pratiquant la même opération, par laquelle on cherche la plus grande commune mesure de deux nombres, et nommant les quotients qui résultent de ces différentes divisions, on aura
Or cette fraction continue étant interrompue successivement au premier terme, au second, au troisième, etc., donnera une infinité de fractions particulières que je désignerai par auxquelles ajoutant la fraction on aura cette suite infinie de fractions :
