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que nous appellerons $\mathrm {R} \,;$ en sorte que l’on ait les équations

${\begin{aligned}&x^{2}\,\ \ -ay^{2}\ \,\ =\mathrm {R} ,\\&x'2\,\ -ay'2\ =\mathrm {R} ,\\&x''2\ -ay''2\,=\mathrm {R} ,\\&x'''2-ay'''2=\mathrm {R} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont le nombre sera infini.

5. Lemme. — Le produit de ces deux quantités $x^{2}-ay^{2}$ et $x'^{2}-ay'^{2}$ est $(xx'\pm ayy')^{2}-a\left(xy'\pm yx'Y\right)^{2}\,;$ car

$\left(x'^{2}-ay^{2}\right)^{2}\left(x'^{2}-ay'^{2}\right)=x^{2}x'^{2}+a^{2}y^{2}y'^{2}-ay^{2}x'^{2}-ax^{2}y'^{2}$

${\begin{aligned}&=x^{2}x'^{2}\pm 2axx'yy'^{2}-v+a^{2}y^{2}y'^{2}-ax^{2}y'^{2}+2axyx'y'-ay^{2}x'^{2}\\&=\left(xx'\pm ayy'\right)^{2}-a\left(xy'\pm yx'\right)^{2}.\end{aligned}}$

D’où l’on voit que le produit de deux quantités de cette forme $x^{2}-ay^{2},$ $a$ étant une quantité donnée, est toujours aussi de la même forme, et qu’ainsi le produit d’autant des quantités de cette forme qu’on voudra sera encore de la même forme.

Donc on aura

$\left(x^{2}-ay^{2}\right)^{2}=\left(x^{2}+ay^{2}\right)^{2}-a(2xy)^{2},$

$(x^{2}-ay^{2})^{3}=\left(x^{3}+3axy^{2}\right)^{2}-a(3x^{2}y+ay^{3})^{2},$

et ainsi des autres.

6. Supposons d’abord que $\mathrm {R}$ et $a$ soient premiers entre eux, et multipliant ensemble deux quelconques des équations du n^o 4, on aura (Lemme)

(A)

$\mathrm {R} ^{2}=(xx'\pm ayy')^{2}-a(xy'\pm yx')^{2}.$

De plus, les mêmes équations donneront celle-ci :

$\mathrm {R} \left(y'^{2}-y^{2}\right)^{2}=x^{2}y'^{2}-y^{2}x'^{2},$

savoir, à cause de $x^{2}y'^{2}-y^{2}x'^{2}=(xy'+yx')(xy'-yx'),$

(B)

$\mathrm {R} \left(y'^{2}-y^{2}\right)=(xy'+yx')(xy'-yx').$