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peuvent être tous deux pairs, parce qu’ils sont supposés premiers l’un à l’autre ; donc ils seront nécessairement tous deux impairs ; donc $x$ sera impair, et par conséquent $x^{2}\mp 1$ et $x^{2}\mp 3$ seront tous deux pairs ; donc, faisant $x^{2}\mp 1=2q$ et $x^{2}\mp 3=2p,$ et divisant l’équation précédente par $4,$ on aura celle-ci :

$\pm 1=(xp)^{2}-a(yq)^{2}\,;$

donc, lorsque $\mathrm {R} =4,$ on aura

$1=(xp)^{2}-a(yq)^{2},$

et, lorsque $\mathrm {R} =-4,$ on aura

$-1=(xp)^{2}-a(yq)^{2}\,;$

d’où, en prenant les carrés, il viendra

$+1=(x^{2}p^{2}+ay^{2}q^{2})^{2}-a(2xypq)^{2}.$

14. Nous avons supposé jusqu’ici que les nombres $a$ et $\mathrm {R}$ étaient premiers l’un à l’autre ; voyons maintenant comment il faudra s’y prendre lorsque ces nombres auront un diviseur commun.

Soit $\theta$ le plus grand diviseur commun de $a$ et de $\mathrm {R} ,$ en sorte que $a=\theta b$ et $\mathrm {R=\theta T} ,$ $b$ et $\mathrm {T}$ étant premiers entre eux, et l’équation

$\mathrm {R} =x^{2}-ay^{2}$

deviendra

$\theta \mathrm {T} =x^{2}-\theta by^{2}$

(ce que nous disons de cette équation doit s’appliquer en général à toutes les équations du n^o 4) ; d’où l’on voit qu’il faut nécessairement que le carré $x^{2}$ soit divisible par $\theta .$

Supposons : 1^o que $\theta$ ne soit ni carré, ni multiple d’un carré, il est évident que la racine $x$ devra être elle-même divisible par $\theta \,;$ de sorte qu’en faisant $x=\theta u,$ et divisant toute l’équation par $\theta ,$ on aura

$\mathrm {T} =\theta u^{2}-by^{2}.$