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rement ${\frac {1}{y^{2}}}<\mathrm {\frac {R}{N^{2}}} ,$ et par conséquent

${\frac {x^{2}}{y^{2}}}-a<\mathrm {\frac {M^{2}}{N^{2}}} -a\,;$

donc ${\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ approchera plus de $a$ que $\mathrm {\frac {M^{2}}{N^{2}}} ,$ l’une et l’autre de ces deux quantités étant d’ailleurs plus grandes que $a,$ à cause de $x^{2}-ay^{2}>0$ et $\mathrm {M} ^{2}-a\mathrm {N} ^{2}>0\,;$ donc aussi ${\frac {x}{y}}$ approchera plus de ${\sqrt {a}}$ que $\mathrm {\frac {M}{N}} \,;$ mais ${\sqrt {a}}$ se trouve entre $\mathrm {\frac {M}{N}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$ (n^o 2) ; donc ${\frac {x}{y}}$ se trouvera aussi entre $\mathrm {\frac {M}{N}}$ et ${\frac {m'}{n'}}\,;$ donc on aura

$\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {x}{y}}>0,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {x}{y}}<\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {m'}{n'}}\,;$

donc on aura :

1^o $\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {M} y-\mathrm {N} y>0\,$

2^o$\quad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {M} y-\mathrm {N} x}{\mathrm {N} y}}<{\frac {1}{\mathrm {N} n}},\quad$savoir$\quad \mathrm {N} y-\mathrm {N} x<{\frac {y}{n'}}\,:$

donc, puisque $\mathrm {M} y-\mathrm {N} x$ est d’ailleurs un nombre entier, il faudra nécessairement que l’on ait

${\frac {y}{n'}}>1,\quad$et par conséquent$\quad y>n'.$

Soit donc $y>n'$ et $<\mathrm {N} '\,;$ puisque l’on a, par l’équation $x^{2}-ay^{2}=1,$

${\frac {x}{y}}>{\sqrt {a}},$

et par le n^o 1

${\frac {m'}{n'}}<{\sqrt {a}},$

on aura nécessairement

${\frac {x}{y}}-{\frac {m'}{n'}}>0\,;$

de plus, on a par le même numéro

$\mathrm {\frac {M'}{N'}} >{\sqrt {a}},\quad$et par conséquent$\quad \mathrm {\frac {M'}{N'}} -{\frac {m'}{n'}}>0$