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SUR L’INTÉGRATION

où $e$ est le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1.$ Par cette supposition la proposée deviendra

$udz=\mathrm {Z} dx,$

ce qui donne

$dz={\frac {\mathrm {Z} dx}{u}},\quad z=\int {\frac {\mathrm {Z} dx}{u}}=\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx,$

et enfin

$y=uz={\frac {\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx}{e^{\int \mathrm {X} dx}}}.$

2. En observant le procédé de cette méthode, on verra aisément qu’elle doit pouvoir s’appliquer encore avec succès aux équations différentielles qui ont la même forme que la précédente, quoique les différences soient supposées finies. Soit donc l’équation

$dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,$

dont la différentielle $dy$ soit finie, et les autres quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ soient des fonctions d’une autre variable quelconque $x.$ Supposons en premier lieu

$y=uz,$

et l’on aura dans ce cas

$dy=udz+zdu+dudz,$

et l’équation se changera en

$udz+zdu+dudz+\mathrm {M} uz=\mathrm {N} .$

Qu’on pose comme ci-dessus les deux termes

$zdu+\mathrm {M} uz=0,$

et on aura

$du+\mathrm {M} u=0,$

savoir

${\frac {du}{u}}=-\mathrm {M} \,;$