5. Après avoir trouvé la méthode d’intégrer toute équation différentielle à différences finies, comprise sous la forme générale
on pourra de même procéder à l’intégration des autres qui dépendent de celle-ci. Or, M. d’Alembert, dans les Mémoires de l’Académie Royale de Berlin, a fait voir que toutes les équations différentielles, telles que
où sont des constantes quelconques, et où est une fonction quelconque de se réduisent à une équation de cette forme :
où est une constante et une fonction de laquelle équation est la même que nous avons appris à intégrer dans le cas même des différences finies. Si donc le procédé de M. d’Alembert peut avoir lieu aussi quand les différences sont finies, on pourra intégrer encore dans cette circonstance toute équation différentielle de cette forme :
et par conséquent l’équation
qu’on peut regarder comme la formule générale des suites récurrentes. La méthode de M. d’Alembert se trouve détaillée dans le second tome du Calcul intégral de M. Bougainville ; mais, pour épargner de la peine aux lecteurs, je tâcherai de la développer ici en peu de mots. Qu’on suppose
