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tion (1) donnera donc, pour l’expression de l’ellipticité $\alpha h$ du sphéroïde terrestre,

$\alpha h={\frac {5\alpha \varphi \left(1-a'^{3}+\int \rho d.a^{3}\right)-6\alpha h'a'^{5}+6\alpha \int \rho d\left(a^{5}h\right)}{4-10a'^{3}+10\int \rho d.a^{3}}},$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a'.$

Considérons présentement la loi de la pesanteur, ou, ce qui revient au même, celle de la longueur du pendule à la surface du sphéroïde elliptique en équilibre. La valeur de $l$ trouvée dans le numéro précédent devient dans ce cas

$l={\rm {L}}+w{\rm {aL}}\left({\frac {5}{2}}\varphi -h\right)\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;$

en faisant donc ${\rm {{L'}={\rm {L}}-{\frac {1}{3}}\alpha {\rm {L}}\left({\frac {5}{2}}\varphi -h\right),}}$ on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}.$

$l={\rm {L'}}+\alpha {\rm {L'}}\left({\frac {5}{2}}\varphi -h\right)\mu ^{2},$

équation d’où il résulte que $L'$ est la longueur du pendule à secondes à l’équateur, et que cette longueur croît de l’équateur aux pôles, proportionnellement au carré du sinus de la latitude.

Si l’on nomme $\alpha \varepsilon$ l’excès de la longueur du pendule au pôle sur sa longueur à l’équateur, divisée par cette dernière longueur, on aura $\alpha \varepsilon =\alpha \left({\frac {5}{2}}\varphi -h\right),$ et par conséquent

$\alpha \varepsilon +\alpha h={\frac {5}{2}}\alpha \varphi ,$

équation remarquable entre l’ellipticité de la Terre, et la variation de la longueur du pendule, de l’équateur aux pôles. Dans le cas de l’homogénéité, $\alpha h={\frac {5}{4}}\alpha \varphi \,;$ ainsi, dans ce cas, $\alpha \varepsilon =\alpha h\,;$ mais, si le sphéroïde est hétérogène, autant $\alpha h$ est au-dessus ou au-dessous de ${\frac {5}{4}}\alpha \varphi ,$ autant $\alpha \varepsilon$ est au-dessous ou au-dessus de la même quantité.

35. Les planètes étant supposées recouvertes d’un fluide en équilibre, il est nécessaire, dans le calcul de leurs attractions, de connaître l’attraction des sphéroïdes dont la surface est fluide et en équilibre ; on