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Si l’arc mesuré est considérable, et si l’on a observé, comme en France, la latitude de quelques points intermédiaires entre les extrêmes, on aura par ces mesures et la grandeur du rayon pris pour unité, et la valeur de $\alpha \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right].$ On a ensuite, par ce qui précède,

$\varpi =-2\alpha h\varepsilon {\frac {\operatorname {tang} ^{2}\psi \left(1+\cos ^{2}\psi \right)}{\cos \psi }}\sin 2(\varphi +{\text{ϐ}})\,;$

l’observation des angles azimutaux aux deux extrémités de l’arc fera connaître $\alpha h\sin 2(\varphi +{\text{ϐ}}).$ Enfin, le degré mesuré dans le sens perpendiculaire au méridien est

$1^{\circ }+1^{\circ }.\alpha \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right]\sin ^{2}\psi +4^{\circ }.\alpha h\operatorname {tang} ^{2}\psi \cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\,;$

la mesure de ce degré donnera donc la valeur de $\alpha h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}}).$ Ainsi l’ellipsoïde osculateur sera déterminé par ces diverses mesures ; il serait nécessaire, pour un aussi grand arc, d’avoir égard au carré de $\varepsilon$ dans l’expression de l’angle $\varpi ,$ surtout si, comme on l’a observé en France, l’angle azimutal ne varie pas proportionnellement à l’arc mesuré ; il faudrait même alors ajouter à l’expression précédente du rayon de l’ellipsoïde un terme de la forme $\alpha k\sin \psi \cos \psi \sin(\varphi +{\text{ϐ}}'),$ pour avoir l’expression la plus générale de ce rayon.

39. La figure elliptique est la plus simple après celle de la sphère ; on a vu précédemment qu’elle doit être celle de la Terre et des planètes, en les supposant originairement fluides, si d’ailleurs elles ont conservé, en se durcissant, leur figure primitive ; il était donc naturel de comparer à cette figure les degrés mesurés des méridiens ; mais cette comparaison a donné pour la figure des méridiens des ellipses différentes et qui s’éloignent trop des observations pour pouvoir être admises. Cependant, avant de renoncer entièrement à la figure elliptique, il faut déterminer celle dans laquelle le plus grand écart des degrés mesurés est plus petit que dans toute autre figure elliptique, et voir si cet écart est dans les limites des erreurs des observations. On y parviendra par la méthode suivante.