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trois espèces d’oscillations se mêlent sans se confondre ; nous pouvons donc les considérer séparément.

Des oscillations de la première espèce.

5. Nous supposerons, dans ces recherches, que le sphéroïde recouvert par la mer est un ellipsoïde de révolution, ce qui est l’hypothèse la plus naturelle et la plus simple que l’on puisse adopter. Dans ce cas, l’expression $\gamma$ de la profondeur de la mer est de la forme $l\left(1-q\mu ^{2}\right),$ et l’on a

$z={\frac {l\left(1-q\mu ^{2}\right)}{i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}}}.$

Reprenons l’équation (4) du n^o 3. Les oscillations de la première espèce ne dépendant point de l’angle $\varpi ,$ on doit faire $s=0$ dans cette équation. Supposons que l’on ait

$a={\rm {P^{(0)}+P^{(2)}+P^{(4)}+P^{(6)}}}+\ldots +{\rm {P}}^{(2f)},$

${\rm {P^{(2)},P^{(4)},\ldots }}$ étant des fonctions de $\mu ^{2}$ qui satisfont, quel que soit $f,$ à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {P}}^{(2f)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+2f(2f+1){\rm {P}}^{(2f)}.$

La partie de $a',$ relative à $y$ et à l’action de la couche aqueuse dont le rayon intérieur est l’unité et dont le rayon extérieur est $1+\alpha y$, sera, par ce qui précède,

$\left(1-{\frac {3}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(0)}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)}+\left(1-{\frac {3}{9\rho }}\right){\rm {P}}^{(4)}+\ldots$

$+\left(1-{\frac {3}{(4f+1)\rho }}\right){\rm {P}}^{(2f)}.$

La partie de $a'$ relative à l’action des astres ne produit que des quantités de la forme ${\rm {P^{(2)}}}$ car la fonction $1+3\cos 2\theta ,$ qui la multiplie par le numéro précédent, est égale à $6\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$ et il est facile de voir que cette dernière fonction est de la forme ${\rm {P^{(2)}.}}$ Cela posé, si l’on substitue au lieu de $a$ et de $a'$ leurs valeurs dans l’équation (4) du n^o 3, et si