Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/234

haute à la basse mer, à l’équateur ; cette quantité est donc la limite de cette différence.

12. La limite que nous venons d’assigner répond au cas où la mer prend à chaque instant la figure d’équilibre qui convient aux forces qui l’animent. Dans cette hypothèse, la valeur de $\alpha y$ peut se déterminer fort simplement, quelles que soient la loi de profondeur et la densité de la mer. En effet, elle revient à supposer, dans l’équation (2) du n^o 1, que les mouvements de l’astre et de la rotation de la Terre sont assez lents pour que l’on puisse négliger les quantités

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad n{\frac {\partial u}{\partial t}},\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}},\qquad n{\frac {\partial v}{\partial t}},$

et alors cette équation donne, en l’intégrant,

$\alpha y={\frac {\alpha {\rm {V}}'}{g}}.$

La partie de $\alpha {\rm {V}}'$ dépendante de l’action de l’astre ${\rm {L}}$ est, par le n^o 4, égale à

${\begin{aligned}{\frac {\rm {L}}{4r^{3}}}&\left(\sin ^{2}v-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}v\right)(1+3\cos 2\theta )\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{r^{3}}}\sin v\cos v\sin \theta \cos \theta \cos(nt+\varpi -\psi )\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}}}\cos ^{2}v\sin ^{2}\theta \cos(2nt+2\varpi -2\psi ).\end{aligned}}$

Supposons que la partie correspondante de $\alpha y$ soit égale à cette quantité multipliée par une indéterminée ${\rm {Q}}$ ; ce produit étant de la forme ${\rm {Y}}^{(2)},$ ou satisfaisant pour ${\rm {Y}}^{(2)},$ à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(2)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(2)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+6{\rm {Y}}^{(2)},$

la partie de $\alpha {\rm {V}}'$ correspondante à l’action de la couche fluide dont, le rayon intérieur étant l’unité, le rayon extérieur est $1+\alpha y,$ sera par