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CHAPITRE II.

de la stabilité de l’équilibre des mers..

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13. Nous avons observé, dans le n^o 2, que si, la Terre n’ayant point de mouvement de rotation, la profondeur de la mer est constante, l’équilibre est stable toutes les fois que la densité moyenne de la Terre surpasse celle de la mer ; nous allons généraliser ce théorème, et faire voir qu’il a lieu quels que soient la loi de profondeur de la mer et le mouvement de rotation de la Terre.

Reprenons les équations générales du mouvement de la mer, données dans le n^o 36 du premier Livre,

(5)

$0={\frac {\partial .r^{2}s}{\partial r}}+r^{2}\left({\frac {\partial v}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial .u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}\right),$

(6)

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=g{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},$

(7)

$\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=-g{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }},$

ces équations étant relatives à une molécule quelconque de l’intérieur ou de la surface de la mer, déterminée par les coordonnées $\theta +\alpha u,\ \varpi +\alpha v$ et $r+\alpha s\,;\ r+\alpha s$ étant le rayon mené du centre de gravité de la Terre à la molécule, et $gy'$ étant égal à $gy-{\rm {V'}}$

Si l’on intègre l’équation (5) depuis la surface du sphéroïde recouvert par la mer jusqu’à celle de la mer, on aura

$r'^{2}s'-r_{\text{ı}}^{2}s_{\text{ı}}=\int r^{2}dr\left({\frac {\partial .u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\right),$