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la Lune : on a à fort peu près, dans ces deux points de l’orbite, $r^{2}\nu =r_{\text{ı}}^{'2}\nu _{\text{ı}},\ r'_{\text{ı}}$ et $\nu _{\text{ı}}$ se rapportant à la moyenne distance syzygie de la Lune ; l’expression précédente devient ainsi

{\frac {{\frac {L'}{r_{\text{ı}}^{'3}}}\left({\frac {r'_{\text{ı}}}{r'}}\right)^{5}\nu _{\text{ı}}}{{\frac {L'}{r_{\text{ı}}^{'3}}}\left({\frac {r'_{\text{ı}}}{r'}}\right)^{3}+{\frac {L}{r^{3}}}}}

On a vu précédemment que ${\frac {L'}{r_{\text{ı}}^{'3}}}={\frac {123}{40}}{\frac {L}{r^{3}}}\,;$ mais cette valeur doit être diminuée ici d’un trentième, ce qui donne ${\frac {L'}{r_{\text{ı}}^{'3}}}=2{,}9725.{\frac {L}{r^{3}}}\,;$ j’ai trouvé d’ailleurs, dans les syzygies périgées de la Table III, ${\frac {r'_{\text{ı}}}{r'}}=1{,}06057,$ et dans les syzygies apogées ${\frac {r'_{\text{ı}}}{r'}}=0{,}98943\,;$ enfin on a, en réduisant \nu_\text{ı}, en temps, à raison de la circonférence pour un jour, $\nu _{\text{ı}}=0^{\rm {j}}{,}0354665\,;$ cela posé, la formule précédente donne $0^{\rm {j}}{,}031125$ pour le retard journalier des marées syzygies périgées de la Table III, et $0^{\rm {j}}{,}022272$ pour le retard journalier des marées syzygies apogées, ce qui diffère très-peu des retards observés, $0^{\rm {j}}{,}031154$ et $0^{\rm {j}}{,}022044$ .

Des heures et des intervalles des marées vers les quadratures,

38. Si, dans l’équation

\operatorname {tang} 2(nt+\varpi -\psi -\lambda )={\frac {{\frac {\rm {L'}}{r^{'3}}}\cos ^{2}v'\sin 2(\psi '-\psi )}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r^{'3}}}\cos ^{2}v'\cos 2(\psi '-\psi )}},

on change $\psi '$ dans $100^{\circ }+\psi ',$ ou dans $300^{\circ }+\psi ',$ suivant que la Lune est vers son premier ou vers son dernier quartier, et si l’on considère d’ailleurs que, $\psi '-\psi$ étant peu considérable vers ces points, on peut négliger sa troisième puissance, on aura

nt+\varpi -\psi -\lambda ={\frac {{\frac {\rm {L'}}{r^{'3}}}\cos ^{2}v'(\psi '-\psi )}{{\frac {\rm {L'}}{r^{'3}}}\cos ^{2}v'-{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v}}\,;