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ce qui rend infinies les expressions précédentes de $y,u$ et $v$ ; mais, comme elles ne deviennent infinies que par la supposition de $i-n=0,$ il en résulte qu’alors $y,u$ et $v$ sont de l’ordre ${\frac {1}{i-n}}.$ Ainsi l’on ne peut plus supposer dans l’équation (O), comme nous l’avons fait, $i=n,$ en différenciant $u$ et $v$ par rapport au temps $t$. Il faut, dans ces différentielles, avoir égard au facteur $i-n$ qui, multipliant les parties de $u$ et de $v$ divisées par $i-n$, donne des produits indépendants de $i-n.$ Ces produits rendent nulles les parties de $d{\rm {N'}}$ et de $d{\rm {N''}}$ relatives à l’attraction et à la pression de la mer sur le sphéroïde terrestre.

Nous observerons ici que, dans le cas précédent, les oscillations de la mer dépendantes de l’angle $it+\varpi$ sont très-grandes lorsque $i$ est très-peu différent de $n,$ et c’est ce qui a lieu par rapport aux termes dépendants du mouvement des nœuds de l’orbe lunaire, $(i-n)t$ exprimant alors ce mouvement ; mais une très-légère résistance de la part du sphéroïde terrestre suffit pour diminuer considérablement ces oscillations. La mer, en vertu de cette résistance, agit horizontalement sur le sphéroïde, et par cette action elle influe sur les mouvements de son axe. On verra, dans le numéro suivant, que, dans ce cas, qui est celui de la nature, le théorème précédent subsiste.

12. L’analyse précédente, quoique très-générale, suppose encore que la mer recouvre en entier le sphéroïde terrestre, que sa profondeur est régulière, et qu’elle n’éprouve point de résistance de la part du sphéroïde qu’elle recouvre. Ces suppositions n’ayant pas lieu dans la nature, on peut douter que le théorème précédent s’applique exactement à la mer. Comme il est très-important dans la théorie des mouvements de la Terre, en voici une démonstration générale, quelles que soient les irrégularités de la figure et de la profondeur de la mer et les résistances qu’elle éprouve. Pour cela, je vais rappeler le principe de la conservation des aires, qui a été démontré dans le Chapitre V du Livre I :

Si l’on projette sur un plan fixe chaque molécule d’un système de corps qui réagissent d’une manière quelconque les uns sur les autres ; si de plus