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En substituant ces valeurs dans ${\rm {S}}$ et en développant cette fonction en sinus et cosinus de l’angle $\varpi$ et de ses multiples, si ${\rm {S}}$ est la fonction la plus générale de l’ordre $s,$ alors $\sin n\varpi$ et $\cos n\varpi$ seront multipliés par des fonctions de la forme

$\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\rm {A}}\mu ^{s-n}+{\rm {B}}\mu ^{s-n-1}+{\rm {C}}\mu ^{s-n-2}+\ldots \right)\,;$

ainsi la partie de ${\rm {S}}$ dépendante de l’angle $n\varpi$ renfermera $2(s-n+1)$ constantes indéterminées. La partie de ${\rm {S}}$ dépendante de l’angle $\varpi$ et de ses multiples renfermera donc $s(s+1)$ indéterminées ; la partie indépendante de $\varpi$ en renfermera $s+1\,;\ {\rm {S}}$ renfermera donc $(s+1)^{2}$ constantes indéterminées.

La fonction ${\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots Y^{(s)}}}$ renferme pareillement $(s+1)^{2}$ constantes indéterminées, puisque la fonction ${\rm {Y}}^{(i)}$ en renferme $2i+1$ ; on peut donc transformer ${\rm {S}}$ dans une fonction de cette forme, et voici la manière là plus simple d’exécuter cette transformation.

On prendra, par ce qui précède, l’expression la plus générale de ${\rm {Y}}^{(s)}\,;$ on la retranchera de ${\rm {S}}$, et l’on déterminera les arbitraires de ${\rm {Y}}^{(s)},$ de manière que les puissances et les produits de $\mu$ et de $\left(1-\mu ^{2}\right)$ de l’ordre $s$ disparaissent de la différence ${\rm {S-Y}}^{(s)}\,;$ cette différence deviendra ainsi une fonction de l’ordre $s-1$, que nous désignerons par ${\rm {S}}'.$ On prendra l’expression la plus générale de ${\rm {Y}}^{(s-1)},$ on la retranchera de ${\rm {S}}',$ et l’on déterminera les arbitraires de ${\rm {Y}}^{(s-1)},$ de manière que les puissances et les produits de $\mu$ et de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ de l’ordre $s-1$ disparaissent de la différence ${\rm {S'-Y}}^{(s-1)}.$ En continuant ainsi, on déterminera les fonctions ${\rm {Y^{(s)},Y^{(s-1)},Y^{(s-2)},\ldots ,}}$ dont la somme forme ${\rm {S.}}$

17. Reprenons maintenant l’équation du n^o 15,

${\rm {U}}^{(i)}=\iiint \rho {\rm {R}}^{i+2}d{\rm {R}}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

Supposons ${\rm {R}}$ fonction de $\mu ',\varpi '$ et d’un paramètre $a,$ constant pour toutes les couches de même densité et variable d’une couche à l’autre.