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de la manière suivante. On déterminera la valeur de ${\rm {P}}$ pour une époque éloignée de deux cents ans de la première époque à laquelle on fixe l’origine du temps $t$. En nommant ${\rm {P_{1}}}$ cette valeur et ${\rm {T}}$ l’intervalle de deux cents années, on aura

${\rm {T}}{\frac {d{\rm {P}}}{dt}}={\rm {P_{1}-P.}}$

On aura par le même procédé les valeurs de ${\frac {d{\rm {P'}}}{dt}},{\frac {d{\rm {Q}}}{dt}},{\frac {d{\rm {Q'}}}{dt}}.$

Pour conclure l’expression de ${\frac {\delta r}{a}}$ de celle de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}},$ nous désignerons par ${\frac {\delta _{r}}{a}}$ la partie de ${\frac {\delta r}{a}}$ qui dépend de l’angle $i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$$+2nt+2\varepsilon ,$ et nous aurons

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}={\frac {r}{a}}\left\{{\begin{aligned}{\frac {\delta _{1}r}{a}}&+{\rm {F}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right]\\&+e{\rm {G}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&+e'{\rm {H}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right]\\\end{aligned}}\right\}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {\delta _{1}r}{a}}={\frac {r\delta r}{a^{2}}}&+{\frac {1}{4}}{\rm {(F+2G)}}e^{2}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&+{\frac {1}{2}}ee'{\rm {H}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\varpi ''\right].\end{aligned}}$

2. En considérant de la même manière les termes dépendants de l’angle $i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$ et supposant que l’on ait, en ne portant l’approximation que jusqu’aux premières puissances des excentricités,

${\begin{aligned}{\frac {\delta r}{a}}=&{\rm {F}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&+e{\rm {G}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&+e{\rm {G'}}\cos \left[-i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&+e'{\rm {H}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right]\\&+e'{\rm {H'}}\cos \left[-i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right],\end{aligned}}$

$i$ étant ici positif, on aura

(E) ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=$

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {3}{2}}n^{2}\left[{\begin{aligned}&{\rm {(G+G')}}e^{2}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&\qquad +{\rm {H}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\varpi -\varpi '\right]\\&\qquad +{\rm {H'}}ee'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\varpi +\varpi '\right]\\\end{aligned}}\right]\\\\+&n^{2}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {N}}}{\partial a}}-{\frac {2n}{n'-n}}a{\rm {N}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+{\rm {L}}\right]\end{aligned}}\right\}}{\left[in'-(i+1)n\right]\left[in'-(i-1)n\right]}}$