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En ne considérant que les quantités séculaires, et observant que

$\operatorname {tang} \varphi \sin \theta =p,\qquad \operatorname {tang} \varphi \cos \theta =q,$

on aura

$\delta s=t{\frac {q}{t}}\sin(nt+\varepsilon )-t{\frac {p}{t}}\cos(nt+\varepsilon ).$

Le terme $-\operatorname {tang} \varphi .\delta s\cos(2v_{1}-\theta )$ donnera ainsi le suivant ${\frac {t(qdp-pdq)}{2dt}},$ en sorte que l’on aura

$v_{1}=v+t{\frac {qdp-pdq}{2dt}},$

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le numéro précédent.

Des inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, et de leurs puissances supérieures.

7. Les inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites sont susceptibles de ces deux formes

${\begin{aligned}&{\rm {M}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+3nt+{\rm {K}}\right],\\&{\rm {N}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+{\rm {L}}\right],\end{aligned}}$

On peut les déterminer par l’analyse dont nous avons fait usage dans les numéros précédents ; mais, comme elles ne deviennent très-sensibles qu’au tant qu’elles croissent avec une extrême lenteur, cette considération simplifie leur calcul. Reprenons la formule (Y) du n^o 46 du Livre II : on peut y négliger le terme ${\frac {2d(r\delta r)}{a^{2}ndt}},$ qui est alors insensible, à cause de la petitesse du coefficient de $t$ dans les inégalités dont il s’agit. Cette formule devient ainsi

$\delta v=-{\frac {dr\delta r}{a^{2}ndt}}+3a\iint ndtd{\rm {R}}+2\int ndt.a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}},$