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aura de la même manière les expressions de $\varpi ,e',\varpi ',\gamma$ et $\Pi .$ On calculera par leur moyen les valeurs de ${\rm {P}}$ correspondantes aux trois époques de 1750, 2250 et 2750. Soient ${\rm {P,\ P_{\text{ı}},\ P_{\text{ıı}}}}$, ces valeurs ; l’expression générale de ${\rm {P}}$ étant

${\rm {P}}+t{\frac {d{\rm {P}}}{dt}}+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}{\rm {P}}}{dt^{2}}},$

on aura, en faisant successivement $t=500,\ t=1000,$

${\begin{aligned}{\rm {P}}+\ \ 500{\frac {d{\rm {P}}}{dt}}+\ \ 250000.{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\rm {P}}}{dt^{2}}}&={\rm {P_{\text{ı}},}}\\{\rm {P}}+1000{\frac {d{\rm {P}}}{dt}}+1000000.{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\rm {P}}}{dt^{2}}}&={\rm {P_{\text{ıı}},}}\end{aligned}}$

ce qui donne

${\frac {d{\rm {P}}}{dt}}={\frac {4{\rm {P}}_{\text{ı}}-3{\rm {P}}-{\rm {P}}_{\text{ıı}}}{1000}},\qquad {\frac {d^{2}{\rm {P}}}{dt^{2}}}={\rm {{\frac {P_{\text{ıı}}-2P_{\text{ı}}+P}{1000}},}}$

9. Les termes dépendants des cinquièmes puissances des excentricités peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ; mais le calcul en est pénible par son excessive longueur. Son importance a déterminé Burckhardt, très-habile astronome, à l’entreprendre. Il a discuté avec une scrupuleuse attention tous les termes de cet ordre qui dépendent de l’angle $5n't-2nt,$ en se permettant seulement de négliger les produits des excentricités par la quatrième puissance de l’inclinaison mutuelle des orbites, ce qui ne peut, en effet, produire que des quantités insensibles. L’expression de ${\rm {R}}$ du n^o 4 est relative à l’action de $m'$ sur $m$ : la partie de cette expression qui a le plus d’influence sur cette inégalité est le produit de $m'$ par le facteur

$-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}}}}+{\frac {{\frac {\gamma ^{2}}{4}}rr'\left[\cos(v'-v)-\cos(v'+v)\right]}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

Ce facteur est le même pour les deux planètes ; en le développant et en ne considérant que les produits des excentricités et des inclinaisons.