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produit le terme

$3(0)\left[e^{2}-\theta ^{2}-2\theta \gamma _{1}\cos(\Psi +{\text{⅂}}_{1})-\gamma _{1}\right]\,;$

on aura donc ainsi l’expression de ${\frac {d\partial v_{1}}{dt}}.$ Pour avoir celle de ${\frac {d\partial v}{dt}}.$ ou, ce qui revient au même, de la projection de $d\partial v_{1}$ sur le plan fixe, divisée par $dt$, il faut, par le n^o 5 du Livre VI, ajouter à ${\frac {d\partial v_{1}}{dt}}.$ la quantité

${\frac {1}{2}}\left[\gamma _{1}\cos {\text{⅂}}_{1}{\frac {d\left(\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1}\right)}{dt}}-\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1}{\frac {d\left(\gamma _{1}\cos {\text{⅂}}_{1}\right)}{dt}}\right],$

ou

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{2}}\left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,\ 1)+(0,\ 2)+(0,\ 3)\right]\gamma _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}(0)\theta \gamma _{1}\cos \left(\Psi +{\text{⅂}}_{1}\right)\\&+{\frac {1}{2}}{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\gamma \gamma _{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}})+{\frac {1}{2}}(0,\ 1)\gamma _{1}\gamma '_{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}}'_{1})\\&+{\frac {1}{2}}(0,\ 2)\gamma _{1}\gamma ''_{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}}''_{1})+{\frac {1}{2}}(0,\ 3)\gamma _{1}\gamma '''_{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}}'''_{1}).\end{aligned}}$

En rassemblant ensuite tous les termes de ${\frac {d\partial v}{dt}},$ et intégrant, on aura l’équation séculaire du satellite $m.$ On doit observer ici que

${\begin{aligned}e^{2}=&(e\cos \varpi )^{2}+(e\sin \varpi )^{2},\\ee'\cos(\varpi '-\varpi )=&e\cos \varpi .e'\cos \varpi '+e\sin \varpi .e'\sin \varpi '.\end{aligned}}$

Par ce qui précède, $e\sin \varpi$ est égal à la somme des termes

$-h\sin(gt+\Gamma )-h_{1}\sin(g_{1}t+\Gamma _{1})-\ldots ,$

et $e\cos \varpi$ est égal à la somme correspondante

$-h\cos(gt+\Gamma )-h_{1}\cos(g_{1}t+\Gamma _{1})-\ldots ,$

$e'\sin \varpi ',\ e'\cos \varpi ',\ldots$ sont les sommes de termes semblables ; on aura ainsi, dans l’expression de ${\frac {d\partial v}{dt}},$ 1^o des termes constants, 2^o des termes multipliés par les cosinus de $2gt+2\Gamma ,\ 2g_{1}t+2\Gamma _{1},\ (g-g_{1})t+\Gamma -\Gamma _{1},\ldots .$ On pourra négliger les termes constants, parce que, les termes qui en résultent après l’intégration étant proportionnels au temps, ils se confondent avec le moyen mouvement de $m.$ On doit appliquer les mêmes considérations aux termes dépendants des inclinaisons des orbites.