Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
LIVRE I.
CALCUL DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES.
_________
PREMIÈRE PARTIE.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉLÉMENTS DES GRANDEURS.
Pages
La notation des exposants, imaginée par Descartes, a conduit Wallis et Newton à la considération des exposants fractionnaires, positifs et négatifs, et à l’interpolation des séries. Leibnitz a rendu ces exposants variables, ce qui a donné naissance au calcul exponentiel et a complété le système des éléments des fonctions finies. Ces fonctions sont formées de quantités exponentielles, algébriques et logarithmiques ; quantités essentiellement distinctes les unes des autres. Les intégrales ne sont pas souvent réductibles à des fonctions finies. Leibnitz ayant adapté à sa caractéristique différentielle des exposants, pour exprimer des différentiations répétées, il a été conduit à l’analogie des puissances et des différences, analogie que Lagrange a suivie par voie d’induction, dans tous ses développements. La théorie des fonctions génératrices
étend cette analogie à des caractéristiques quelconques et la montre avec évidence. Toute la théorie des suites et l’intégration des équations aux différences découle avec une extrême facilité de cette théorie. No 1
Chapitre I. — Des fonctions génératrices à une variable
étant une fonction quelconque d’une variable et étant le coefficient de dans le développement de cette fonction, est fonction génératrice de . Si l’on multiplie par une fonction quelconque de on aura une nouvelle fonction génératrice qui sera celle d’une fonction de , , etc. En désignant par cette dernière fonction, sera la fonction génératrice de en sorte que l’exposant de , dans la fonction génératrice, devient celui de la caractéristique dans la fonction engendrée. No 2
De l’interpolation des suites à une variable, et de l’intégration des équations différentielles linéaires
L’interpolation se réduit à déterminer le coefficient de dans le développement de . On peut donner à une infinité de formes différentes : en l’élevant à la puissance sous ces formes et repassant ensuite des fonctions génératrices aux coefficients, on a, sous une infinité de formes correspondantes, l’expression de . Application de cette méthode aux suites dont les différences successives des termes vont en décroissant. No 3
Formules pour interpoler entre un nombre impair ou pair des quantités équidistantes. No 4