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Expressions des intégrales de ces équations en intégrales définies. Les fonctions sous le signe intégral $\int$ sont de la même nature que les fonctions génératrices des quantités données par ces équations. Ainsi tous les théorèmes déduits précédemment de l’analogie des puissances et des différences s’appliquent à ces intégrales. Leur principal avantage est de fournir une approximation aussi commode que convergente de ces quantités, lorsque leur indice est un très grand nombre. Cette méthode d’approximation acquiert une grande extension par les passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, passages dont j’ai donné les premières traces dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1782. Il paraît, par les Ouvrages posthumes d’Euler, que, vers le même temps, ce grand géomètre s’occupait du même objet. N^o 21   

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SECONDE PARTIE.

théorie des approximations des formules qui sont fonctions
de très grands nombres.

Chapitre I. — de l’intégration par approximation des différentielles qui renferment des facteurs élevés a de grandes puissances   

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Expression, en série convergente, de leur intégrale prise entre deux limites données : la série cesse d’être convergente près du maximum de la fonction sous le signe intégral. N^o 22   

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Expression, en série convergente, de l’intégrale dans ce dernier cas. N^o 23  

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Ce que devient cette série lorsque l’intégrale est prise entre deux limites qui rendent nulle la fonction sous le signe intégral. Sa valeur dépend alors d’intégrales de la forme $\int t^{r}dtc^{-t^{n}}$ et prises depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. On établit ce théorème

$n^{2}\int t^{r-2}dtc^{-t^{n}}\int t^{n-r}dtc^{-t^{n}}={\frac {\pi }{\sin \left({\frac {r-1}{n}}\right)\pi }},$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. On en déduit ce résultat remarquable

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

N^o 24  

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Ce dernier résultat donne, par le passage du réel à l’imaginaire,

$\int dx\cos rxc^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini ; méthode directe qui conduit à cette équation et de laquelle on tire la valeur de l’intégrale lorsque la quantité sous le signe $\int$ est multipliée par $x^{2n}\,:$ valeur de l’intégrale $\int x^{2n\pm 1}dx\sin rxc^{-a^{2}x^{2}}.$

N^o 25   

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