Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/174

Pages

On parvient aux formules

$\int {\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}=\int {\frac {xdx\sin rx}{1+x^{2}}}=\pi c^{-r},$

les intégrales étant prises depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=\infty \,;$ et l’on en déduit les intégrales $\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx{\begin{aligned}\cos \\sin\end{aligned}}rx,$ prises dans les mêmes limites, $\mathrm {N}$ étant une fonction rationnelle et entière de $x,$ d’un degré supérieur à $\mathrm {M} ,$ et n’ayant pas de facteur réel du premier degré.

N^o 26  

 99

Expression de l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ prise entre des limites données, soit en séries, soit en fraction continue. N° 27  

 102

Approximation des double, triple, etc. intégrales des différentielles multipliées par des facteurs élevés à de hautes puissances. Formules en séries convergentes pour intégrer, dans des limites données, la double intégrale $\iint ydxdx',\ y$ étant une fonction de $x$ et de $x'.$ Examen du cas où l’intégrale est prise très près du maximum de $y.$ Expression de l’intégrale en séries convergentes. N^o 28  

 105

Chapitre II. — de l’intégration par approximation des équations linéaires aux différences finies et infiniment petites  

 111

Intégration de l’équation aux différences finies

$\mathrm {S} =\mathrm {A} y_{s}+\mathrm {B} \Delta y_{s}+\mathrm {C} \Delta ^{2}y_{s}+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $s.$ Si la variable $y_{s}$ est exprimée par l’intégrale définie $\int x^{s}\varphi dx$ ou par celle-ci $\int c^{-sx}\varphi dx,\ \varphi$ étant fonction de $x,$ on a, par les formules du Chapitre précédent, la valeur de $y_{s}$ en séries très convergentes, lorsque l’indice $s$ est un grand nombre. Pour déterminer $\varphi ,$ on substitue pour $y_{s}$ son expression en intégrale définie, dans l’équation aux différences en $y_{s},$ qui se partage en deux autres, dont l’une est une équation différentielle en $\varphi ,$ qui sert à déterminer cette inconnue ; l’autre équation donne les limites de l’intégrale définie. N^o 29  

 111

Intégration d’un nombre quelconque d’équations linéaires à un seul indice et ayant un dernier terme, les coefficients de ces équations étant des fonctions rationnelles et entières de cet indice. Cette méthode peut être étendue aux équations linéaires à différences ou infiniment petites, ou en parties finies et en parties infiniment petites. N^o 30  

 117

La principale difficulté de cette analyse consiste à intégrer l’équation différentielle en $\varphi ,$ qui n’est intégrale généralement que dans le cas où l’indice $s$ n’est qu’à la première puissance dans l’équation aux différences en $y_{s},$ qui alors est de la forme $0=\mathrm {V} +s\mathrm {T,\ V}$ et $\mathrm {T}$ étant des fonctions linéaires de $y_{s}$ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Intégrale de cette dernière équation, par une série très convergente, lorsque s est un grand nombre. Remarque importante sur l’étendue de cette série, qui est indépendante des limites de l’intégrale définie par laquelle $y_{s}$ est exprimé, et qui subsiste dans le cas même où l’équation aux limites n’a que des racines imaginaires. Lorsque, dans l’équation en $y_{s},\ s$ surpasse le premier degré, on peut quelquefois la décomposer en plusieurs équations qui ne renferment que la première puissance de $s.$ On peut encore, dans plusieurs cas, intégrer, par une approximation très convergente, l’équation différentielle en $\varphi .$ N^o 31  

 121